接線の問題

質問

接線に関する問題を解いていて詰まってしまいました・・

問1．　曲線C：y=x^4-10x^2-12x がある。Cと異なる2点で接する直線の傾きをaとするとき、次の問に答えよ。
(1)aの値を求めよ。
(2)直線y=ax+bがCと異なる4点で交わるときのbの値を求めよ。
(3)直線y=ax-9とCとで囲まれる3つの部分の面積の和を求めよ。

一応自分の解法を書いておきます。
2つの接点を(X1,Y1),(X2,Y2)とおいて接線を表してみたのですが、どうにも置いた文字が消えなくて困り果ててしまいました。
微分して、増減表を書いてグラフの図はかけたのですが、これ以上進みません・・・（グラフはM字みたいな形になりました）
自分の解き方では間違っているのでしょうか？

最後までよんでいただきありがとうございます。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞(1)aの値を求めよ

(解法-1)　微分を使う方法

異なる2点をＰ(α、α＾4-10α＾2-12α)、Ｑ(β、β＾4-10β＾2-12β)とする。
y´＝4x＾3-30x－12であるから、2本の接線は
y＝(4α＾3-20α-12)x-3α＾4＋10α＾2　とy＝(4β＾3-20β＾2-12)x-3β＾4＋10β＾2　。
従って、これが一致するから、4α＾3-20α-12＝4β＾3-20β＾2-12　→　(α－β)(α＾2＋β＾2＋αβ-5)＝0.　α－β≠0より、α＾2＋β＾2＋αβ-5＝0　‥‥(1)
又、-3α＾4＋10α＾2＝3β＾4＋10β＾2　（α＋β）*（α－β）*（3α＾2＋3β＾2-10）
α－β≠0より　α＋β＝0、or、3α＾2＋3β＾2-10＝0　‥‥(2)
3α＾2＋3β＾2-10＝0　とすると、(1)より　α＾2＋β＾2＋αβ-5＝0　と連立すると、α＝β　となり不適。
よって、α＋β＝0　であるが、(1)と連立すると、α＝±√5　であり、この時、a＝-12.

（解法-2）微分を使わない方法。

接線をy＝ax+kとすると、これが曲線と異なる2点　α、β　で接するから
x^4-10x^2-12x-（ax+k）＝（x-α）＾2*（x-β）＾2　が成立する。
右辺を展開すると、x^4-10x^2-12x-（ax+k）＝x＾4-2（α＋β）x＾3＋（α＾2＋β＾2＋4αβ）x＾2-2αβ（α＋β）x＋（αβ）＾2。
係数を比較して、α＋β＝0、α＾2＋β＾2＋4αβ＝-10.　2αβ（α＋β）＝12＋a、（αβ）＾2＝-k。
これを解くと、a＝-12.

＞(2)直線y=ax+bがCと異なる4点で交わるときのbの値を求めよ

これは、問題が違ってないか？　bの値の範囲を求めよ、ではないのか？
だとすると、これも微分を使う方法と、微分を使わない方法がある。

補足

すみません・・・
指摘の通り、ｂの範囲を求めよでした。

回答No.1

f272

(1)
Cと異なる2点で接する直線をy=ax+bとすると
x^4-10x^2-12x=ax+b
つまり
x^4-10x^2-(a+12)x-b=0
は
(x-X1)^2(x-X2)^2=0
という形になるはず。