共通接線

質問

曲線C:y=ax^3+bx^2+cx+dが、x=0で放物線y=x^2-2x+3と共通な接線をもつとき、c,dの値を求めよ。さらに、曲線Cがx=2で直線y=3x-7に接するときa,bの値を求めよ。

数学が苦手なのでできるだけ詳しく、わかりやすい流れで書いて頂けると嬉しいです！

回答No.2

gohtraw

曲線C:y=ax^3+bx^2+cx+dが、x=0で放物線y=x^2-2x+3と共通な接線をもつということは、曲線Cはｘ＝０のとき放物線y=x^2-2x+3と同じ点を通るということなので、曲線Cは（０，３）を通らねばなりません。よってCの式にｘ＝０を代入してその値＝３とおくとｄ＝３となります。

また、ｘ＝０における放物線y=x^2-2x+3の傾きはｄｙ／ｄｘ＝２ｘ－２にｘ＝０を代入してー２であることがわかります。この放物線と曲線Ｃがｘ＝０のとき接するということは、ｘ＝０における曲線Ｃの傾きはー２でなくてはなりません。そこでｄｙ／ｄｘ＝３ａｘ＾２＋２ｂｘ＋ｃにｘ＝０を代入するとｃ＝－２となります。

曲線Ｃがｘ＝２のとき直線ｙ＝３ｘ－７に接するということは、両者はｘ＝２のとき同じ点を通るということであり、Ｃは（２、－１）を通るということです。従ってＣの式にｘ＝２を代入すると
８ａ＋４ｂ＋２ｃ＋ｄ＝８ａ＋４ｂ－４＋３
　　　　　　　　　　＝８ａ＋４ｂ－１
であり、この値がー１なので
８ａ＋４ｂ＝０　・・・（１）

また、ｘ＝２におけるＣの傾きが３であればいい（ｙ＝３ｘ－７に接するので）ので、
１２ａ＋４ｂ－２＝３　・・・（２）

（１）と（２）を連立させるとａ、ｂの値が出ます。

回答No.1

info22_

>x=0で放物線y=x^2-2x+3…(1) と共通な接線をもつとき
y'=2x-2
y'(x=0)=-2
共通な接線の傾きは-2であることが分かる。
共通な接線を
y=-2x+p
とおくと共通な接点(0,p)は放物線上の点でもあるから放物線の式に接点を代入
p=3　共通接点（0,3）
したがって、共通接線は
y=-2x+3…(2)
これを放物線の式に代入すると
-2x+3=x^2-2x+3 ∴x^2=0 つまりx=0は重根。これは(2)がx=0で(1)に接する事を意味する。

次に、共通接点(0,3)は曲線C上の点でもあるから
3=d…(3)
また曲線Cのx=0における接線の傾きが共通接線(2)の傾き「-2」でもあるから
y'=3ax^2+2bx+c
-2=c…(4)
これでc,dの値が求まった。

したがって曲線Cはc,dを代入して
y=ax^3+bx^2-2x+3　…(5)
y'=3ax^2+2bx-2
曲線Cがx=2で直線y=3x-7…(6)に接することから
3=12a+4b-2 ∴12a+4b=5…(7)
接点のy座標は y=-1 ∴(6)と曲線Cの接点(2,-1)
(5)に代入　-1=8a+4b-4+3 ∴2a+b=0…(8)
(7),(8)をa,bの連立方程式として解けば(a,b)が求まります。
これ位の連立方程式は解けますね？