微分法

質問

曲線ｙ＝ａｘ＾３＋ｂｘ＾２＋ｃｘ＋ｄは、点Ａ(０，１)において直線ｙ＝ｘ＋１に、点Ｂ(３，４）において直線ｙ＝－２ｘ＋１０にそれぞれ接する。このとき、定数ａ，ｂ，ｃ，ｄの値を求めよ。

ｆ(ｘ）＝ａｘ＾３＋ｂｘ＾２＋ｃｘ＋ｄとするとｆ´(ｘ)＝３ａｘ＾２＋２ｂｘ＋ｃとなる。そして点Ａと点Ｂについてそれぞれ接線の方程式を求めてみたのですが、値が出ません。どなたか教えて下さい。

回答No.2

mmky · ベストアンサー

＃１のojamanboさんの的確な回答がありますので参考程度に

曲線ｙ＝ａｘ＾３＋ｂｘ＾２＋ｃｘ＋ｄは、点Ａ(０，１)において直線ｙ＝ｘ＋１に、点Ｂ(３，４）において直線ｙ＝－２ｘ＋１０にそれぞれ接する。このとき、定数ａ，ｂ，ｃ，ｄの値を求めよ。

考え方：
A(0,1)は曲線ｙ上の点だから
x=0, 1=d　：ｄが1で決まる。
B(3,4）も同じく曲線ｙ上の点だから
4=27ａ+9ｂ+3ｃ+1
3=27ａ+9ｂ+3ｃ　　--（1）
それから接線の傾きKは,xの関数として、
(x,K)=(0,1),(3,-2)を満足するので
K=ｙ'=3ａx＾2＋2ｂx＋ｃ
(0,1)→K=c=1　：ｃが1で決まる。
(3,-2)→K=-2=27a+6b+1 --(2)
(1),(2),d=1,c=1
27a+9b=0
27a+6b=-3
3b=3, b=1
27a+9=0, a=-1/3　
で結論は、
ｙ=-(1/3)x＾3+x＾2＋x＋1
検算
y'=-x＾2+2x＋1
y'(0)=-x＾2+2x＋1=1
y'(3)=-x＾2+2x＋1=-2
うんあってそうだね。
ということですかね。

回答No.1

noname#24477

まず点Ａ，Ｂを通ることから
ｆ（０）＝１
ｆ（３）＝４

接線の傾きから
ｆ’（０）＝１
ｆ’（３）＝－２

この４つの式がａ，ｂ，ｃ，ｄの式になりますから
連立方程式を解きます。