第３次導関数は，何を表していますか？

質問

ａ，ｂ，ｃ，ｄ　を　０　でない実数として，ｙ＝f(ｘ)　を３次以上の多項式、例えば

ｙ＝f(ｘ)＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ

のとき，上式を微分した導関数 ｙ'＝f'(ｘ) は，曲線の接線の傾きを表し、更に微分した第２次導関数 ｙ"＝f"(ｘ) は，曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、第３次導関数は，曲線の何を表していますか？

回答No.4

katadanaoki

>更に微分した第２次導関数 ｙ"＝f"(ｘ) は，曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、

それは間違いです。
根拠を示してください。

お礼

曲げモーメント Ｍ が作用する縦弾性係数 Ｅ、断面二次モーメント Ｉ の梁のたわみは、曲率(１/Ｒ)＝ｙ"＝d^2y/dx^2 として、２階微分方程式

(１/Ｒ)＝ｙ"＝d^2y/dx^2＝Ｍ/ＥＩ

を解くことにより、たわみ角 θ および たわみ ｙを求めますが、貴方はご存知ないですか？

補足

ｙ＝f(ｘ) を微分した導関数 ｙ’＝f’(ｘ) は、接線の傾きを表し、その角度を θ とすると、ｙ’＝tanθ で、両辺を微分すると、ｙ”＝sec^2θ・dθ/dx

∴　dθ/dx＝ｙ”/sec^2θ＝ｙ”/(１＋tan^2θ)＝ｙ”/(１＋ｙ’)　・・・(1)

ここで、曲線 ｙ＝f(ｘ) の微小部分を ds とすると、

ds＝√(dx^2＋dy^2)＝dx√{１+(dy/dx)^2}

∴　ds/dx＝√{１+(dy/dx)^2}＝√(１＋ｙ’^2)　　・・・・・・(2)

なお、ds を半径 Ｒ の曲率円の一部とみなすと、ds＝Ｒ*dθ で、
曲率 (１/Ｒ)＝dθ/ds に式(1)と式(2)を代入すると、

　　１/Ｒ＝dθ/ds＝(dθ/dx)/ (ds/dx)＝ｙ”/(１＋ｙ’^2)^3/2≒ｙ” になります。

回答No.3

rabbit_cat

＞ ｙ"＝f"(ｘ) は，曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、
こういう理解をしているのなら、y'''は、曲率の変化の度合いを表している、でいいのでは。

お礼

回答有難うございました。仰る通りなので、なんとなくイメージが掴めました。

回答No.2

noname#57316

>ｙ＝ａｘ^3　なら、ｙ"'＝６ａ　になりますが・・・・６ａ　は何を表していると云ったらいいのでしょうか？

高次微分の方向と逆方向に進めると、積分定数は抜きにして、∫ｙ"'dx=y"　ですよね。
従って、積分してy"になる量、つまり、その積分が曲率を表わす量ということを意味することに
なります。

力学では、m・(d^2x/dt^2)=F(t)において、力を表わすF(t)が時間の関数でその時間変化率が
分かっているとすると、m・(d^3x/dt^3)=F'(t)　から、m・(d^2x/dt^2)=F(t)+(定数)という
運動方程式（質量が変わらないとしての話ですが）が得られます。
これはイメージが掴みやすい例でしょう。

お礼

回答有難う御座います。ニュートンの運動の第二法則ですね。なんとなく
イメージが掴めました。

回答No.1

sanori

１年半ほど前の過去質問です。
なかなか良い回答がいくつも出ていますよ。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2038730.html

お礼

早速のご回答有難う御座います。なお，参考回答、拝見致しましたが

＞　y''' になると，正負の違い（y''の増加減少）すらグラフから読み取ることは難しいでしょう。

と、なっており、難しい問題なのですね。

所で、ｙ＝ａｘ^3　なら、ｙ"'＝６ａ　になりますが，この　ａ　が（＋）なら，曲線が　∪　で，ａ　が（－）なら曲線が　∩　の形になると思いますが、６ａ　は何を表していると云ったらいいのでしょうか？