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第3次導関数は,何を表していますか? 

a,b,c,d を 0 でない実数として,y=f(x) を3次以上の多項式、例えば y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d のとき,上式を微分した導関数 y'=f'(x) は,曲線の接線の傾きを表し、更に微分した第2次導関数 y"=f"(x) は,曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、第3次導関数は,曲線の何を表していますか? 

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  • 回答No.4

>更に微分した第2次導関数 y"=f"(x) は,曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、 それは間違いです。 根拠を示してください。

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質問者からのお礼

曲げモーメント M が作用する縦弾性係数 E、断面二次モーメント I の梁のたわみは、曲率(1/R)=y"=d^2y/dx^2 として、2階微分方程式 (1/R)=y"=d^2y/dx^2=M/EI を解くことにより、たわみ角 θ および たわみ yを求めますが、貴方はご存知ないですか?

質問者からの補足

y=f(x) を微分した導関数 y’=f’(x) は、接線の傾きを表し、その角度を θ とすると、y’=tanθ で、両辺を微分すると、y”=sec^2θ・dθ/dx ∴ dθ/dx=y”/sec^2θ=y”/(1+tan^2θ)=y”/(1+y’) ・・・(1) ここで、曲線 y=f(x) の微小部分を ds とすると、 ds=√(dx^2+dy^2)=dx√{1+(dy/dx)^2} ∴ ds/dx=√{1+(dy/dx)^2}=√(1+y’^2)  ・・・・・・(2) なお、ds を半径 R の曲率円の一部とみなすと、ds=R*dθ で、 曲率 (1/R)=dθ/ds に式(1)と式(2)を代入すると、   1/R=dθ/ds=(dθ/dx)/ (ds/dx)=y”/(1+y’^2)^3/2≒y” になります。

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  • 回答No.3

> y"=f"(x) は,曲線の一部を円と見なした曲率円のほぼ曲率を表していますが、 こういう理解をしているのなら、y'''は、曲率の変化の度合いを表している、でいいのでは。

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質問者からのお礼

回答有難うございました。仰る通りなので、なんとなくイメージが掴めました。

  • 回答No.2
noname#57316
noname#57316

>y=ax^3 なら、y"'=6a になりますが・・・・6a は何を表していると云ったらいいのでしょうか? 高次微分の方向と逆方向に進めると、積分定数は抜きにして、∫y"'dx=y" ですよね。 従って、積分してy"になる量、つまり、その積分が曲率を表わす量ということを意味することに なります。 力学では、m・(d^2x/dt^2)=F(t)において、力を表わすF(t)が時間の関数でその時間変化率が 分かっているとすると、m・(d^3x/dt^3)=F'(t) から、m・(d^2x/dt^2)=F(t)+(定数)という 運動方程式(質量が変わらないとしての話ですが)が得られます。 これはイメージが掴みやすい例でしょう。

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質問者からのお礼

回答有難う御座います。ニュートンの運動の第二法則ですね。なんとなく イメージが掴めました。

  • 回答No.1
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

1年半ほど前の過去質問です。 なかなか良い回答がいくつも出ていますよ。 http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2038730.html

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質問者からのお礼

早速のご回答有難う御座います。なお,参考回答、拝見致しましたが > y''' になると,正負の違い(y''の増加減少)すらグラフから読み取ることは難しいでしょう。 と、なっており、難しい問題なのですね。 所で、y=ax^3 なら、y"'=6a になりますが,この a が(+)なら,曲線が ∪ で,a が(-)なら曲線が ∩ の形になると思いますが、6a は何を表していると云ったらいいのでしょうか?

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