微分係数と導関数(数学II)

質問

お世話になっております。数学IIの微積の入り始めからの質問です。

どうも、極限値から微分係数を定義するあたりから、掴み損ねているのですが、まず、微分係数を図形的に捉えて、これを任意の曲線上の点上の接線の傾きを表すこと。
導関数について、これを定義通りに公式から導く。次いで導関数f'(x)のxに色々な値aを代入すると、元の関数y=f(x)のxが限り無くaに近付く時の平均変化率つまり微分係数になる。など色々説明されていますが、始めグラフで説明されていたのが、極限値あたりから途端に言葉だけの説明になり、当初平均の速さと瞬間の速さをうまく関数に対応させていた考えが、途中で途絶えてしまった感があります。そこで、単純な導関数から微分係数を求める問題をグラフから捉えてみようと図に落としてみました。

例題 関数f(x)=x^2-4xのx=0,3における微分係数を求めろ。
解 f'(x)=2x-4 が与式の導関数であるから(ここは機械的に計算しました)、
f'(0)=-4
f'(3)=2

微分係数は接線の傾きであること、接線の定義上放物線と交わるような直線とはならないし、また、微分係数はxが限り無く0または3に近付くときの平均変化率の値であることを考えると何となくですが、添付画像のようになりました。何でも良いのでアドバイスいただけると嬉しいです。
宜しくお願いします。

回答No.2

hugen

f(x)=x^2-4x
f '(□)
=lim{(□+h)^2-4(□+h)-(□^2-4□)}/h
=lim{(□+h)^2-□^2}/h-4lim{(□+h)-□)}/h
=2□-4

お礼

今回は簡略に導関数を求める公式を使いました。

f'(x)=(x^2)'-4(x)'=2x-4・1=2x-4

本問で、尋ねたいことは、機械的な解き方というよりは、平均変化率と変化率(微分係数)から始まり極限値を取り入れて導関数までにいたる過程を図で示すとどうなるか、というものでした。
言葉足らずで申し訳ありません

回答No.1

spring135

質問者は多分f'(x)の傾きを持つ直線を曲線y=f(x)に近づけると点(x,y)で接するといいたいのでしょう。それは間違いではありません。しかし平均変化率の考え方が入っていません。
点(x,f(x))と点(x+p,f(x+p))を結ぶ直線を描いてp→0にもっていけば2点間の平均変化率の極限値として微分係数が自然に把握できるでしょう。

お礼

言葉足らずで混乱させてしまいすいません。

微分の抽象的な考えを言い換えて説明するのに苦しんでおりまして……ならば図に換えて捉えてみようかと