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微分係数について

微分係数について質問です。微分係数とは平均変化率の極限をとったもの即ち、lim(h→0)f(x+h)-f(x)/hですよね?例えばf(x)=x^2の平均変化率は2x+hとなりlim(h→0)にすると2xになります。但しこれは極限値であり平均変化率は2xに限りなくいくらでも近づくことができますが、2xそのものには決してなりえませんよね?それなのに平均変化率を2x(極限値)そのものにして良いのでしょうか?直感的には必ず、微小な誤差hがつきまとうと思うのです。 回答よろしくお願いいたします。

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  • 回答No.4

>平均変化率は・・・2xそのものには決してなりえませんよね? >それなのに平均変化率を2x(極限値)そのものにして良いのでしょうか? いずれもその通りです。 ただし、平均変化率の「極限」を微分としてよいのは、 その点Xで関数が「連続」で「微分可能」な時です。 Y=|X|(絶対値関数)は、X=0 の点で   左から近づくときの平均変化率(の極限)は-1になりますが   右から近づくと+1になります。   この関数はX=0の点で(連続ですが)微分不能といいます。 Y=[X](ガウスの記号)はXをこえない整数を表す関数です。   これは、整数Nに対してN≦X<N+1の範囲でY=Nになります。   グラフは階段状で不連続ですが平均変化率はどこでも0で同じです。   しかし、これはX=Nで 微分(0ですが)が存在するとは言いません。   (0<X<N+1 では、区分的に連続だから微分を0として良い。) いい換えると、微分可能とは、関数が連続で、 左から近づくときの平均変化率の極限と 右からのから近づくときの平均変化率の極限が 等しいときで、それが微分です。 ということで、2X-h と 2X+h のh→0 の極限が2X に一致すると言われると、納得できるでは・・・

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  • 回答No.3
  • Mathmi
  • ベストアンサー率47% (53/111)

自分も疑問に思ってた頃があります(苦笑) 確かに「収束する」とは「その値になる」訳ではありません。 では、なぜf(x)=x^2を微分すると2x+hではなく2xとなるのか。 はさみうちの原理、更に言えばε-δ論法に詳しいのですが lim(h→0){f(x+h)-f(x)]/h  ={(x+h)^2-x^2}/h  =2x+h lim(h→0){f(x)-f(x-h)]/h  ={x^2-(x-h)^2}/h  =2x-h x-hからxになる時の傾きは2x-h xからx+hになる時の傾きは2x+h 傾きが連続して変化する時、2x-h<=f'(x)<=2x+hとなり、xの時の傾きは2x以外にあり得ないので、f'(x)=2xである。

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  • 回答No.2

極限とは、「どの値に収束するか」を表したものであり、h≠0である以上、決して2x+hに収束するわけではありません。 質問者さんがどこまでいっても微小なhが存在すると言っているのは lim(h→0){2x+h} ではなく 2x+h を考えているからです。 lim(h→0){2x+h}=2x+hではないことは十分注意してください。 繰り返します。 極限は「どの値に収束するか」を表したものです。 収束値には微小なhなんて入り込む余地なんてあり得ません。

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  • 回答No.1
  • bran111
  • ベストアンサー率49% (510/1034)

>それなのに平均変化率を2x(極限値)そのものにして良いのでしょうか?直感的には必ず、微小な誤差hがつきまとうと思うのです。 それ故に微小な誤差hを0にしようとする努力がlim(h→0)です。

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質問者からの補足

回答ありがとうございます。lim(h→0) 2x+h =2xと誤差hが0に収束し2xに限りなく近づくということは分かるのです。そもそも私なりの極限値に対する理解(というよりイメージ?)というのはその値にはいくらでも近づけることができるが、その値自身には絶対にたどり着かないというものなのです。なんか納得できないのです。決してなりえない値(極限値)が平均変化率そのもだというのが、、、 誤差h(例えばh=0.001等)は無視できないという主張にたいして、じゃあhを0.0001にすればより2xに近くなるよという誤差hを無視できないとするという意見にたいして、ならばそのhより小さいの選べばより2xに近づく

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