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微分係数の定義とは

以下の問題の解き方がわからなくて困っています。 関数f(x)=x^3+1における微分係数を、微分係数の定義に従って求めよ。 これは、まず微分を行い、f'(x)=3x^2を導けばいいのでしょうか? その後、xにaを代入して、f'(a)=3a^2とすれば、 その後は、どう解けばいいのでしょうか? わかるかた、よろしくおねがいします。

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  • 回答No.2
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

こんにちは。 >>>これは、まず微分を行い、f'(x)=3x^2を導けばいいのでしょうか? それではまずいです。 「微分する」というのは、微分係数の定義の上に成り立っているものだからです。 ここに書いてあることを、教科書で見たことがありませんか? http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E4%BF%82%E6%95%B0#.E5.BE.AE.E5.88.86.E4.BF.82.E6.95.B0 なお、実際の計算は、 {f(x+h) - f(x)}/h  = [{(x+h)^3 + 1}-{x^3 + 1}] / h  = (x^3 + 3hx^2 + 3h^2x + h^3 - x^3 -1)/h  = (3hx^2 + 3h^2x + h^3)/h h→0 の極限は、 lim[h→0]{f(x+h) - f(x)}/h  = lim[h→0] (3hx^2 + 3h^2x + h^3)/h  = lim[h→0] (3x^2 + 3hx + h^2)  = 3x^2 だから、f’(x)= 3x^2 であるわけです。 「f’(x)= 3x^2 だから」では逆なので、おかしいということです。 ご参考になりましたら。

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質問者からの補足

大変詳しい解説、ありがとうございます。 実は、ちょっと問題の転記をミスしてまして、 「f(x)=x^3+1を、x=aの定義にしたがって求めよ」 が正確な設問です。 ※「x=aの」が欠けてました、すいません。 この場合、{f(x+h) - f(x)}/h…のxを aに置き換えたものを答えとして導けばいいのでしょうか? たびたびで申し訳ありませんが、アドバイスのほど よろしくお願いします。

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その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)

lim[x->a]{f(x)-f(a)}/x-aで求めれば宜しいかと思います。 式変形していく過程でx-aが消せるはずです。

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質問者からのお礼

的確なアドバイス、ありがとうございました。

  • 回答No.1
  • Ae610
  • ベストアンサー率25% (385/1500)

lim[h->0](f(x+h)-f(x))/hから求めなさいという事だと思います。

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質問者からの補足

ありがとうございます。 自分が設問の意味をとりちがえていたようです。 ちなみに、問題の一部がかけてまして、 「関数f(x)=x^3+1における微分係数を、x=aの微分係数の定義に従って求めよ。」 が正しい問題でした、すいません。

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