微分係数の定義とは

質問

以下の問題の解き方がわからなくて困っています。

関数f(x)=x^3+1における微分係数を、微分係数の定義に従って求めよ。

これは、まず微分を行い、f'(x)=3x^2を導けばいいのでしょうか？
その後、xにaを代入して、f'(a)=3a^2とすれば、
その後は、どう解けばいいのでしょうか？
わかるかた、よろしくおねがいします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

＞＞＞これは、まず微分を行い、f'(x)=3x^2を導けばいいのでしょうか？

それではまずいです。
「微分する」というのは、微分係数の定義の上に成り立っているものだからです。

ここに書いてあることを、教科書で見たことがありませんか？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E4%BF%82%E6%95%B0#.E5.BE.AE.E5.88.86.E4.BF.82.E6.95.B0

なお、実際の計算は、
｛ｆ（ｘ＋ｈ）　－　ｆ（ｘ）｝／ｈ
　＝　［｛（ｘ＋ｈ）^3　＋　１｝－｛ｘ^3　＋　１｝］　／　ｈ
　＝　（ｘ^3　＋　３ｈｘ^2　＋　３ｈ^2ｘ　＋　ｈ^3　－　ｘ^3　－１）／ｈ
　＝　（３ｈｘ^2　＋　３ｈ^2ｘ　＋　ｈ^3）／ｈ

ｈ→０　の極限は、
lim[h→0]｛ｆ（ｘ＋ｈ）　－　ｆ（ｘ）｝／ｈ
　＝　lim[h→0]　（３ｈｘ^2　＋　３ｈ^2ｘ　＋　ｈ^3）／ｈ
　＝　lim[h→0]　（３ｘ^2　＋　３ｈｘ　＋　ｈ^2）
　＝　３ｘ^2

だから、ｆ’（ｘ）＝　３ｘ^2　であるわけです。

「ｆ’（ｘ）＝　３ｘ^2　だから」では逆なので、おかしいということです。

ご参考になりましたら。

補足

大変詳しい解説、ありがとうございます。
実は、ちょっと問題の転記をミスしてまして、
「f(x)=x^3+1を、x=aの定義にしたがって求めよ」
が正確な設問です。
※「x=aの」が欠けてました、すいません。

この場合、｛ｆ（ｘ＋ｈ）　－　ｆ（ｘ）｝／ｈ…のxを
aに置き換えたものを答えとして導けばいいのでしょうか？
たびたびで申し訳ありませんが、アドバイスのほど
よろしくお願いします。

回答No.3

Ae610

lim[x->a]｛f(x)-f(a)｝/x-aで求めれば宜しいかと思います。
式変形していく過程でx-aが消せるはずです。

お礼

的確なアドバイス、ありがとうございました。

回答No.1

Ae610

lim[h->0](f(x+h)-f(x))/hから求めなさいという事だと思います。

補足

ありがとうございます。
自分が設問の意味をとりちがえていたようです。
ちなみに、問題の一部がかけてまして、
「関数f(x)=x^3+1における微分係数を、x=aの微分係数の定義に従って求めよ。」
が正しい問題でした、すいません。