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微分積分の問題。微分係数の問題です。

次の関数について()内の点における値と微分係数を求めよ。 (1)y=Sin^-1 x/2 (x=1) (2)y=(Tan^-1x)^2 (x=-1) 値は分かるんですけど微分係数の求め方が分かりません。 lim(h→0) {f(a+h)-f(a)}/h で求めるんでしょうか?でも求まらないような……。 途中式含め教えて下さい。お願いします。

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noname#154783
noname#154783

(1)はy = Arcsin(x/2) という解釈でいいんですよね? y = (Arcsin x)/2 ではないですよね? (1) x = 1のときy = Arcsin(1/2) = π/6. y = Arcsin(x/2)より x = 2sin y dx/dy = 2cos y ∴dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(2cos y) = 1/(2cos(π/6)) = 1/√3 = (√3)/3. (2) x = -1のときy = (Arctan(-1))^2 = (-π/4)^2 = (π/4)^2. y = (Arctan x)^2より Arctan x = ±√y. この問題では x = -1 (< 0)の場合を考えており, Arctan x = -√y. x = tan(-√y) = -tan √y dx/dy = -(1/cos^2 √y) 1/(2√y) ∴dy/dx = 1/(dx/dy) = -(2√y)cos^2 √y = -2・(π/4)・cos^2(π/4) = -2・(π/4)・1/2 = -π/4. ※ついうっかり符号の処理を誤ってしまいそう. [別解] (Arcsin x)' = 1/√(1 - x^2), (Arctan x)' = 1/(x^2 + 1) を用いると, (1) dy/dx = 1/{2√(1 - (x/2)^2)} = 1/√(4 - x^2) = 1/√3 = (√3)/3. (2) dy/dx = (2 Arctan x)/(x^2 + 1) = (2 Arctan(-1))/2 = -π/4. ※符号の処理をしなくていいから,こっちのほうが間違いは少ないかも...

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  • 回答No.2

逆三角関数はそのままでは微分できませんので、xとyを逆にした陰関数表示をしてみましょう。 (1)の、  y=arcsin(x/2) は、陰関数表示で  x=sin(y/2) となります。両辺をyで微分すると、  dx/dy=(1/2)cos(y/2) となりますから、x=1におけるyの主値π/6を上式に代入すれば、その逆数が微係数になります。 cosπ/6=√3/2であることから、半角の公式(cos^2y=(1+cos2y)/2)よりcos^2(π/12)=(2+√3)/4となり、  dy/dx(y=π/12)=√(2+√3) となりました。 同様に、(2)も陰関数で表して、  x=tan^2y 両辺をyで微分して、  dx/dy=2tanysec^2y であり、x=-1における主値y=3π/4を上式に代入して逆数を取り、  dy/dx(y=3π/4)=(-1/√2)^2/(-2)=-1/4 となりました。どうでしょうか?  

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  • 回答No.1
  • Tacosan
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微分しちゃダメなの?

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