微分係数の求め方！

質問

大学で数理解析という講義がありましてそれに出された課題が高校で習った微分係数の問題なのですが、高校時代文系だった私はよくわかりません。どなたか教えていただけませんでしょうか？
（１）g(x)=2x２乗ー３x＋２のx=-0.5における微分係数
（２）h(x)=－3x３乗－xマイナス４乗＋6のx=1における微分係数
（３）f(x)=5のx=－1.5における微分係数
（３）は答えは０とわかっているのですが、どうしてそうなるのか理屈がわかりません。この課題は１０月１１日までに提出ということで今とてもあせっています。どなたか教えてください。お願いします。

回答No.6

oshiete_goo · ベストアンサー

#4の再度補足訂正
＞h'(x)＝lim_{δ→0}{(h(x+δ)-g(x))/δ} [hが使われてしまったので...]
これは
h'(x)＝lim_{δ→0}{(h(x+δ)-h(x))/δ} [hが使われてしまったので...]
でした.

なお, これらg'(x), h'(x)は任意のxにおける接線の傾きを与える『導関数』などと呼ばれる関数で, まず導関数を求めてからx=・・・と置く方針を採りました.

他にも,
[1]先にx=a(定数)での微分係数g'(a)を求めてからa=-0.5と置く.
[2]最初から[1]でa=-0.5とした式 g'(-0.5)を計算する.
などもありそうですが, [1]は全く良い(あくまでも微分係数にこだわればこれが正解)としても, [2]は中途半端な値だと計算を間違うのがオチなので, すすめません. まず文字(xかa)で計算しておいたほうが(簡単な値でないときは)ましです.

なお, 全て#1さんのように, 公式利用で良い場合にはもちろんこんなに苦労しなくて良いです.

回答No.7

TK0318

＃１です。
（２）の方は＃２で訂正しています＾＾；
（１）の方は－０．５です。すいませんでした＾＾；
（答えは－５になります）

回答No.5

oshiete_goo

#4の訂正
＞＝lim_{δ→0}[{-9x^2 +4/{x(x+δ)^4}+(δの1次以上の項)]
これは中括弧が余計で
＝lim_{δ→0}[-9x^2 +4/{x(x+δ)^4}+(δの1次以上の項)]
でした.
他も注意してお読み下さい.

回答No.4

oshiete_goo

定義に基づいて計算すると, (xは後で具体的値を代入するまで定数のように思っておけばよいです.)

(1)g(x)=2x^2-3x+2
g'(x)＝lim_{h→0}{(g(x+h)-g(x))/h}
＝lim_{h→0}[{2(x+h)^2-3(x+h)+2}-{2x^2-3x+2}]/h
(中略) [←多少途中を書かないと認めてもらえないでしょうね]
＝lim_{h→0}{(4x-3)+2h}
＝4x-3
x=-0.5と置いて, g'(-0.5)＝-5

(2)h(x)=-3x^3-x^(-4)+6
h'(x)＝lim_{δ→0}{(h(x+δ)-g(x))/δ} [hが使われてしまったので...]
＝lim_{δ→0}[{-3(x+δ)^3-(x+δ)^(-4)+6}-{-3x^3-x^(-4)+6}]/δ
(中略)
＝lim_{δ→0}[{-9x^2 +4/{x(x+δ)^4}+(δの1次以上の項)]
＝-9x^2 +4/x^5 [＝-9x^2 +4x^(-5) とも書けます]
x=1と置いて, h'(1)=-9+4=-5

(3)略

回答No.3

oshiete_goo

講義の説明を思い出してください．
もし，微分の公式を使ってよいという話なら，＃１さんのご説明のようになります．
しかし，もし，学習のためで，微分係数f'(a)の定義に基づいて求めよという問題ならば，公式を使うと０点で，方針は以下のようになります．ご参考まで．

x=aの点での微分係数f'(a)の定義
f'(a)＝lim_{h→0}{(f(a+h)-f(a))/h}
に基づいて計算してみて下さい．[もちろん，右辺がきちんとした値に定まる時のみf'(a)は存在しますが，とりあえずはあまり気にせず，実際やってみることです．]

途中で分からない点は補足してもらえれば，どなたか見た方が助けて下さるでしょう．
なお，微分係数f'(a)の図形的な意味は，x＝aの点での接線の傾きなので，
定数関数f(x)=5の接線の傾きは常に０でx=-1.5での微分係数も０です．

お礼

すみません、回答も教えていただけないでしょうか？

補足

回答してくださいりありがとうございました。
理屈では多少理解しているのですが答えのほうがちょっと自信がないのです。回答もよろしくお願いします。

回答No.2

TK0318

間違えた＾＾；

(2)
h'(x)=-9x^2+4x^(-5) x=1よりh'(1)=-5

回答No.1

TK0318

微分してｘに代入するだけです。

(1)
g'(x)=4x-3 x=0.5よりg'(0.5)=-1
(2)
h'(x)=-12x^2+4x^(-5) x=1よりh'(1)=-8
(3)
f'(x)=0 x=-1.5よりf'(-1.5)=0

お礼

私の友達が言うには、（２）は－５ではないかといっているのですが。いかがでしょうか？（１）のx=0.5というのは間違えではないでしょうか？x=－0.5ではないでしょうか？