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微分係数の問題です

以前、こちらでご指導いただいた問題の再掲なのですが、 みなさんのご指導をうけ、自分なりに解いてみました。 おかしいところや不足点がないか、ご指導お願いします。 関数f(x)=3x^3+1のa=xにおける微分係数を、 微分係数の定義にしたがって、求めよ。 公式 f'(a)=lim{h→0} {f(a+h)-f(a)}/h より、 f'(a)=lim{h→0} {(a+h)^3-(a^3+1)}/h =lim{h→0} {a^3+3a^2h+3ah^2+h^3-(a^3+1)}/h =lim{h→0} (3a^2h+3ah^2+h^3+1)/h =lim{h→0} {h(3a^2+3ah+h^2)+1}/h =lim{h→0} (h(3a^2+3ah+h^2)/h-(1/h) =lim{h→0} (3a^2+3ah+h^2)-(1/h) →3a^2

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  • R_Earl
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最後の二行が違います。 > =lim{h→0} (3a^2+3ah+h^2)-(1/h) > →3a^2 1/0は0になりません。h → 0なら、(1/h) → ±∞です。 なので微分係数は 3a^2 ± ∞ = ±∞ となるはずです。 微分係数の定義に従わないで計算すると、f'(x) = 9x^2なので、f'(a) = 9a^2です。 なので、定義に従って微分係数を計算してもf'(a) = 9a^2となると推察できます。 つまり最後の二行だけでなく、他にも間違えているところがある可能性があります。 > 公式 f'(a)=lim{h→0} {f(a+h)-f(a)}/h より、 > f'(a)=lim{h→0} {(a+h)^3-(a^3+1)}/h f(x) = 3x^3 + 1なのに、x^3の項にかけられている3と、定数項+1がなくなっていませんか? f(a + h) = 3(a + h)^3 + 1 f(a) = 3a^3 + 1 ですよね?なので f'(a) = lim{h→0} { f(a+h) - f(a) } / h = lim{h→0} [ {3(a + h)^3 + 1} - {3a^3 + 1} ] / h となるはずです。これでもう一度計算し直してみて下さい。

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質問者からのお礼

早速のご指導、ありがとうございます。 大変詳しい解説、ありがとうございました。 私のミスで問題に1か所書き間違いがありました。 これも大変失礼いたしました。 ×「3x^3+1」→○「x^3+1」 ですので、↓が正しい問題になります。 関数f(x)=「x^3+1」のa=xにおける微分係数を、 微分係数の定義にしたがって、求めよ。 ご指摘の箇所と、問題の転記ミスを合わせて直しました。 これでよろしいでしょうか? 公式 f'(a)=lim{h→0} {f(a+h)-f(a)}/h より、 f'(a)=lim{h→0} {(a+h)^3-(a^3+1)}/h =lim{h→0} {a^3+3a^2h+3ah^2+h^3+1-(a^3+1)}/h =lim{h→0} (3a^2h+3ah^2+h^3+1-1)/h =lim{h→0} h(3a^2+3ah+h^2)/h =lim{h→0} h(3a^2+3ah+h^2)/h =lim{h→0} (3a^2+3ah+h^2) →3a^2

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  • 回答No.2
  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)

こんばんは。 2行目の時点で、すでに、x^3の係数の3が姿を消しちゃってますね。 そこが間違いです。 f(a+h) - f(a) ={3(a+h)^3 + 1} - {3a^3 + 1}  = {3(a^3 + 3a^2h + 3ah^2 +h^3) + 1} - {3a^3 + 1}  = 9a^2h + 9ah^2 + 3h^3 よって、 lim[h→0] {f(a+h) - f(a)}/h  = lim[h→0] (9a^2h + 9ah^2 + 3h^3)/h  = lim[h→0] 9a^2 + 9ah + 3h^2  = 9a^2 以上、ご参考になりましたら。

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質問者からのお礼

私のミスで問題に書き間違いがありました。 ×「3x^3+1」→○「x^3+1」 ですので、↓が正しい問題になります。 関数f(x)=「x^3+1」のa=xにおける微分係数を、 微分係数の定義にしたがって、求めよ。 非常にわかりやすい解答、ありがとうございました。 みなさんのおかげで、どうにか理解できるところまで きたように思います。 お二人とも20点をお付けしたいのですが、システム上できない みたいなので、大変迷ったのですが 先に回答くださった方に20点をつけさせていただきます。 また、この問題だけでなく、他の問題にも親切にお答えいただき、 大変ありがとうございます。この場を借りてお礼申し上げます。 ありがとうございました。

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