微分の定義についてわかりやすく解説します
- 関数ｆ(x)が点pで微分可能な条件は、適当な実数aと関数g(x)が存在して、f(x)=f(p)+a(x-p)+g(x)とlim{x→p}(g(x)/(x-p))=0が成立することです。
- この定義は、pでの微分係数aを求めるためのものであり、f(x)が点pにおいてどれだけ急峻に変化しているかを表しています。
- g(x)はf(x)とpの間の差分を表し、aはそれに対する係数です。図形的には、f(x)の接線が点pで関数と一致し、それに対して微小な変化を表すg(x)が存在することを意味しています。
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微分の定義に関して
微分の定義に関してなのですが、参考書を読んでいたら微分の定義のところに次のように 書かれていました。 関数ｆ(x)が点pで微分可能⇔適当な実数aと関数g(x)が存在して、 (イ) f(x)=f(p)+a(x-p)+g(x) (ロ) lim{x→p}(g(x)/(x-p))=0 が成立する。 このとき、aをf(x)の点pにおける微分係数という。 この定義の説明を見てもいったいなんのことを言っているのかさっぱりわかりません。 今まで微分の定義というと lim{x→p}(f(x)-f(p))/(x-p)というのしか習ったことがなかったので、この定義が何を表しているのか 分かりません。 そもそもg(x)がなんなのかaがなんなのか分かりません。 できれば図形的意味も教えていただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。
- final2909
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(イ)と(ロ)から g(x) を代入消去して a = … の形に変形すれば、 a が、見慣れた微分係数の定義と一致 していることが解るはずです。 g(x) は、1 次のテイラーの定理の剰余項です。
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- hugen
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lim{x→p}(f(x)-f(p))/(x-p)＝a トスルト lim{x→p}{(f(x)-f(p))/(x-p)‐a}=0 lim{x→p}{f(x)-f(p)-a(x-p)}/(x-p)=0 f(x)-f(p)-a(x-p)=g(x) トオクト (ロ) lim{x→p}(g(x)/(x-p))=0 (イ) f(x)=f(p)+a(x-p)+g(x)
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