微分 可能 について

質問

微分係数の定義は、
(1)f´(a)=lim[h→0]（f(a+h)-f(a)）/h
これを変形すると、
lim[h→0]（f(a+h)-f(a)）=lim[h→0]h・f´(a)
よって、lim[h→0]f(a+h)=f(a)となります。
x=a+hとすれば、
(2)lim[x→a]f(x)=f(a)
となります。

lim[x→a]f(x)=f(a)はf(x)にaを代入している事と同じになると
思います。

ここで、問題です。
f(x)=|x|のx=0について微分可能で無い事を示す場合、
(1)式で解くと、
右極限
lim[h→+0]（|0+h|-|0|）/h＝lim[h→+0]|h|/h=1

左極限
lim[h→-0]（|0+h|-|0|）/h
h=-tと置くと、t→+0となる。
lim[t→+0]（|0-t|-|0|）/-t=lim[t→+0]|t|/-t=-1

となり、lim[h→+0]（|0+h|-|0|）/h≠lim[h→-0]（|0+h|-|0|）/h
なのでf(x)=|x|はx=0について微分可能でない。

(2)式で解くと、
右極限
lim[x→+0]|x|=0

左極限
lim[x→-0]|x|=0
x=-tと置くと、t→+0となる。
lim[t→+0]|-t|=0

よって、lim[x→+0]|x|=lim[x→-0]|x|となり微分可能であると成ってしまいます。

(1)式=(2)式なのに、解が異なってしまうのは何故でしょうか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>(1)式=(2)式なのに、解が異なってしまうのは何故でしょうか？
(1)式=(2)式　では無いからです。
(1)式→(2)式はは成り立つのですが、(2)式→(1)式は成り立つとは限らないのです。((1)式→(2)式であることから微分可能→連続はいえます。)

(1)式の両辺にhをかけて極限をとっていますが、h→0となるものをかけています。
つまり両辺に0をかけているようなものです。

たとえば1≠2ではありますが、両辺に0をかけた
1*0=2*0
は成り立ちます。
でも両辺を"0"で割ることはできませんのでこの式から1=2ということはできません。

これと同じで(2)が成り立つからといって(1)は成り立ちません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
(1)式→(2)式だが、(2)式→(1)式は成り立たないのですね。
理解しました。

微分可能を示す場合は(1)式で必ず解かないといけないのでしょうか？
例えば、
・f(x)＝x/|x|のx=0
・f(x)=tanxのx=π/2
は(2)式を使って、微分可能でない事を示していました。
(1)式を使ってどのように解けばよいのか教えて頂けませんでしょうか？
(1)式でも(2)式でもどちらも同じになる場合もあるのでしょうか？

回答No.5

Tacosan

まあ確かに「f(a) が定義されている」ことを示すのは難しいです. ほとんど直感とも言える.
とはいえ, そもそも「f(x) が x=a で連続である」ことを示そうと思ったら「f(a) が存在すること」は大前提ですよね.
f(a) が存在しなかったら lim[x→a]f(x)=f(a) すら示せない.

お礼

ご回答ありがとうございます。

すいません。具体的にf(a)を示すにはどうすれば良いですか？
大前提だから、省略出来る？

・・・

よくわかりません。深く考え過ぎでしょうか？

補足

いろいろ自分で調べました。
別のQAサイトにあった回答を参照させて頂きます。
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1026092050
で、「lim[x→a] ｆ(x)＝ｆ（a） において、x→a は x→a+0 と x→a-0 を含む・・・」とあります。
私は、左右の極限は、（1)を使って求めるものだと理解していました。
（2）式では、関数が連続であるかどうかの判定に使うと思っていたのですが、（2）式だけで微分可能を示すことは可能なのでしょうか？
x→a+0 と x→a-0をどう計算すればよいか謎です。

h→-0の時は、h=-tと置いて計算していましたが、同様に置換すれば
計算できるのでしょうか？

回答No.4

Tacosan

「tan（π/2）´」って何ですか? 今は「微分可能かどうか」を問題にしているわけですから, 「微分できる」かのように扱ってはいけません. また, tan π/2 が定義されない以上
「lim[h→0]（tan(π/2+h)-tanπ/2）/h」
も定義することができません.
f(x) が x=a で微分可能であることを示すには
(1) f(a) が定義されていることを示す.
(2) f(x) が x=a で連続であることを示す.
(3) lim(h→0) [f(a+h)-f(a)]/h が有限確定であることを示す.
のが基本. (2) は省略できることもあるけど.

お礼

ご回答ありがとうございます。
＞「tan（π/2）´」って何ですか? 今は「微分可能かどうか」を問題にしているわけですから,
＞「微分できる」かのように扱ってはいけません.
＞また, tan π/2 が定義されない以上「lim[h→0]（tan(π/2+h)-tanπ/2）/h」も定義することができません.
仰る通りです。理解できました。

＞(1) f(a) が定義されていることを示す.
どのように示せば良いのですか？lim[x→a]f(x)=f(a)ならば、(2)と同じような気がするのですが・・・
(2)を満たした場合、(3)を解いて左右の極限が一致すれば微分可能となると思ったのですが・・・

回答No.3

Tacosan

(1) を使うためには, (連続性はさておいても) 「f(a) が定義されていること」は最低限の条件です. x/|x| は x=0 で, あるいは tan x は x=π/2 で関数値が定義されていないのでこの「最低限の条件」すら成り立ちません. つまり, (1) を適用する余地がありません.
「f(a) が定義されているけど x=a で不連続」だと (1) を適用する余地があるけど極限が定義されないか無限大に発散するのでやっぱり駄目.
さらに「f(a) が定義されていて x=a で連続だけど (1) の極限が定義されないか無限大に発散する」場合もあって, これも微分不可能.

お礼

ご回答ありがとうございます。
つまり、tanπ/2は∞で0/|0|は不定だからで、f(a)が定義できないという事ですね。

自分なりに解いてみたのですが・・・
tan（π/2）の微分を微分の定義からlim[h→0]（tan(π/2+h)-tanπ/2）/h
で解いていくと、tan（π/2）´＝1/cos2（π/2）となり無限大となるから微分可能でないとなると思っていたのですが・・・これは間違いでしょうか？

そもそも微分可能かどうかを示す場合は、どのような手順で解けば良いのでしょうか？

理解が乏しくお手数をかけますm(__)m

補足

やっぱり疑問です。
tanｘは理解できたのですが、lim[x→+0]x/|x|＝1になることはないのでしょうか？絶対値記号がついている場合には、単純に約分出来ない？

lim[x→+0]x/|x|が不定という前提で続けます。

微分可能であるかどうかを示すために、lim[h→0]（f(a+h)-f(a））/hをときます。
右極限はlim[h→+0]（0+ｈ/｜0+ｈ｜-0/｜0|）/ｈとなり0/｜0|不定形が出てきて進めません・・・
左極限も同じです。。。

どうやったら微分可能でないことを示せるのでしょうか？
解き方が分からずに困っているので、時間が御座いましたらご回答下さい。

Tacosan様以外の方でも結構ですので、どうかご回答下さいm(__)m

回答No.2

Tacosan

(1) と (2) はそれぞれ異なる概念を表しています.
(1): x=a において f(x) が「微分可能」
(2): x=a において f(x) が「連続」
そして, (1) の右辺の極限が存在するためには (2) の条件が成り立たなければなりません. したがって, (2) を満たさない (よって x=a で連続でない) ならば, (1) を適用するまでもなく x=a で微分可能ではありません. (2) の条件を満たして初めて (1) の極限の存在を確認することになります.
このことは, あなたが今まで行ってきた
「(2)式を使って、微分可能でない事を示していました」
というのが「途中段階を 1つ飛ばしていた」ということも意味します. つまり, x/|x| (at x=0) や tan x (at x=π) は
(2) を満たさず, したがって「連続ではないので」微分可能ではない
の「～」が省略されています. 連続性と微分可能性は (連続でなければ微分不可能であるという関連はあるけど) 異なる概念なので, この 2つが異なるんだという意識を持った記述をする方が安全だと思います.

お礼

ご回答ありがとうございます。
かなりすっきりしました。

(2)式を満たさないので(連続でないので)、微分可能でないとなるのですね。
微分可能かを示す場合は、まず(2)式で連続であることが前提として
その後、(1)式にて右極限と左極限が一致すれば微分可能と言う認識
で良いでしょうか？

x/|x| (at x=0) や tan x (at x=π/2)を(1)式で微分可能でないことを
示す事は出来ないのでしょうか？