微分 可能 について その2

質問

以前、http://okwave.jp/qa5093106.htmlにて質問させて頂きました。
以前の質問内容でなかなかご回答頂けなかったので再度質問させて頂きます。

f(x)=x/|x|　x=0において微分可能かどうかという問題についてです。これは、連続の式lim[x→a]f(x)=f(a)より、
lim[x→0]x/|x|となるのですが、x/|x|というのはただ単純に約分することは出来ないのでしょうか？
約分できたとすると、lim[x→0]x/|x|=1となり連続になります。
グラフを書いてみたのですが、どうも連続ではなさそうなので、単純に約分できないと言う事でしょうか？

lim[x→+0]x/|x|が不定という前提で続けます。

微分可能であるかどうかを示すために、lim[h→0]（f(a+h)-f(a））/hを求めます。
右極限はlim[h→+0]（0+ｈ/｜0+ｈ｜-0/｜0|）/ｈとなり0/｜0|不定形が出てきてしまいます・・・
左極限も同じです。。。

どうやったら微分可能でないことを示せるのでしょうか？
解き方が分からずに悩んでいます・・・
詳しい方ご回答よろしくお願い致します。

また、グラフを添付致しますが、f(x)=x/|x|のx=0におけるグラフは
表すことは出来ないのでしょうか？添付したグラフは正しいですか？

質問内容を整理します。
・x/|xは単純に約分できないのか。
・lim[h→+0]（0+ｈ/｜0+ｈ｜-0/｜0|）/ｈはどのようにとけば良いのか？
・x/|xのx=0における部分はグラフで表現できないのか？
・添付したグラフは正しいか？

以上、よろしくお願い致しますm(__)m

回答No.5

info22 · ベストアンサー

回答する前に
x=0でf(x)が微分可能であることの定義を今一度復習して下さい。
そうすれば全てが解決すると思います。
定義を式で書けば
lim[h→0]（f(0+h)-f(0))/h=f'(0)　…(■)
この式は
f(0)が存在すること
lim[h→+0]f(0+h)=f(+0)が存在すること
lim[h→-0]f(0+h)=f(-0)が存在すること

h→±0に対して（f(0+h)-f(0))→0であること
つまり
f(0)=f(+0)=f(-0)…(●)であること
これはf(x)がx=0で連続であることを表しています。
このような条件(●)が(■)の定義式には含まれています。
この条件(●)が満たされている前提の下で
x=0で連続な関数f(x)に対して
(■)の式の左辺が収束するとき
x=0における微分f'(0)が定義される。
ということです。

上のことを理解されていれば

>・x/|x|は単純に約分できないのか。

x=0でx/|x|が定義されないので約分以前の問題です。
つまりf(0)が存在しない。→ x=0の微分が存在しない。
x>0のときf(x)=x/|x|=x/x=1 → f(+0)=1
x<0のときf(x)=x/|x|=x/(-x)=-1 → f(0-)=-1
f(0)が存在しない、f(+0)=1,f(-0)-1なので
「f(0)=f(+0)=f(-1)は成り立っていない」
f(x)=x/|x|はx=0で連続でないのでf'(0)の定義の前提条件が成立しません。

>・lim[h→+0]（0+ｈ/｜0+ｈ｜-0/｜0|）/ｈはどのようにとけば良いのか？
この式の前提条件が成立していない。つまり解くこと以前の問題です。
f(0)が存在しませんし、存在しないf(0)とf(0+h)=1と差をとること自体意味がありません。

>・x/|x|のx=0における部分はグラフで表現できないのか？
f(x)=x/|x|がx=0で定義できないのでx=0に対するf(x)はグラフには描けません。

>・添付したグラフは正しいか？
x=0の所だけ正しくない。x≠0の部分は正しいです。
添付図参照。

お礼

ご回答ありがとうございます。本当に感謝です。

微分係数の定義
lim[h→±0]（f(0+h)-f(0))/h=f'(0)
から、
lim[h→+0]f(0+h)=f(+0)
lim[h→-0]f(0+h)=f(-0)
が導かれる事は理解できます。
よって、f(0)=f(+0)=f(-0)ならば連続である事は理解できました。

x=aにおいて微分可能かを示す場合は、まずf(a)が定義されていることが前提で、
lim[h→+0]f(a+h)=f(a+0)
lim[h→-0]f(a+h)=f(a-0)
が一致する、つまり連続であること。
そして、lim[h→±0]（f(a+h)-f(a))/h=f'(a)の左右の極限が一致すること。
を示して、初めて微分可能が分かると言う事ですね。

実際に問題を解いて見ました。
f(x)=|x|のx=1において微分可能かどうかを示す。
X=1は、ｘ>0なので、|x|=x
まず、f(1)=|1|=1で定義されています。
lim[h→+0]f(1+h)=lim[h→+0]|1+h|=1
lim[h→-0]f(1+h)=lim[t→+0]|1-t|=1
で一致するので連続です。
(h≠0)の条件で、
lim[h→+0]（1+h-1）/h＝lim[h→+0]h/h=1
lim[h→-0]（1+h-1）/h＝lim[t→+0]（1-t-1）/-t=lim[t→+0]-t/-t=1
となりx=1で微分可能となる。
こんな感じでしょうか？

また、x=0の時も|x|=xとして良いのでしょうか？

グラフに関して大変分かり易い添付画像ありがとうございます。
理解しました。白丸の意味を教えて頂けるとありがたいのですが。
定義できない場合は白丸という認識で良いですか？
また、黒丸で表す場合などは無いのでしょうか？

以上、長々とすいません・・・

回答No.9

info22

#5-#8です。
A#8の補足質問の回答

> f(x)=f(0+h)=f(h)=|h|=-h(>0)
> ですが、これはf(x)=f(0+h)=f(h)=|h|=-h(＜0)の符号間違いでしょうか？
-h が0より大きくなる？

やはり絶対値は理解できていないようですね？

[h→-0}を考えている場合は　
h<0なので
|h|>0なのはわかりますか？
たとえは　h=-0.000001の時
|h|=0.000001>0 ですね。
|h|=-h=-(-0.000001)=0.000001>0はわかりますか？
これがわかるなら

> f(x)=f(0+h)=f(h)=|h|=-h(>0)
> ですが、これはf(x)=f(0+h)=f(h)=|h|=-h(＜0)の符号間違いでしょうか？
なぜ絶対値の値が負になりますか？あなたはわかってみえないですね。
> -h が0より大きくなる？
当然そうなります。
h<0の時　|h|=-h　は正になるに決まっていますよ。
こんな単純なことを間違えると絶対値を学習した中学生に笑われますよ。
しっかりして下さい。

>f(x)=|x|についてx=0とx=1における左極限に関してです。
>x=0のとき
>lim[h→-0]（|0+h｜-|0|）/h　：h→-0の|0+h｜<0なので|0+h｜=-（0+ｈ）
「|0+h｜<0」は間違い。
h→-0の時　|0+h｜>0なので|0+h｜=|h|=-h

>lim[h→-0]{-(0+h)-(0)}/h=lim[ｔ→+0]-(-t)/-t=-1　
OK。

>x=1のとき
>lim[h→-0]（|1+h｜-|1|）/h　：h→-0の|1+h｜＞0なので|1+h｜=（1+ｈ）
>lim[h→-0]（1+h-1）/h=lim[t→+0]（1-ｔ-1）/-t=1
こちらはOKです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
全て理解出来ました。

＞h<0の時　|h|=-h　は正になるに決まっていますよ。
＞こんな単純なことを間違えると絶対値を学習した中学生に笑われますよ。
＞しっかりして下さい。
お恥ずかしいです＾＾；仰るとおりですね。

この度は、本当にありがとう御座いました。
また、数学でつまづいたら教えて頂けると幸いです。

回答No.8

info22

#5-#7です。
A#7の補足質問の回答
[1]
>[h→-0]のときは　h<0(h=0は含まない)なので|0+h|=-hです。
>ここがよくわからないのです。
これはあなたがA#6で書いた補足質問の
>>lim[h→+0]（0+h-0）/h＝lim[h→+0]h/h=1
>>lim[h→-0]（0+h-0）/h＝lim[t→+0]（0-t-0）/-t=lim[t→+0]-t/-t=1
となってしまい、微分可能であるとなってしまうのです。
の下側の式に対する補足回答であることを念頭において考えてください。

>f(x)について考えると、x≧0のとき|x|=0でx＜0のとき|x|=-xとなる事は理解できます。

[h→-0]の時 h<0ですので
f(x)=f(0+h)=f(h)=|h|=-h(>0)
このxはx=h(<0)で考えていますので x=0の場合をなぜ考えるのですか？
>>lim[h→-0]（0+h-0）/h
を考えるときはx=0+h=h<0
で考えないといけませんよ。

>x=0について考えた場合に、|x|=xと考えていいと思っていたのですが、なぜ、hの極限で絶対値を考慮しなければならないのでしょうか？

x=h<0で[h→-0]の極限を考えている場合に
あなたがx=0の場合を考えて矛盾をみずからもたらしてみえるようです。
元は、あなたがなさった質問の一部であるにもかかわらず、自分の式を正しく認識されないことから、新たな矛盾した質問をされているようです。
少し間をおいて質問と回答の前後関係をよく読みなおしてください。

[2}
>[h→0]はhは0に限りなく近づくという意味で0にはならないはずなのになぜ等しくなるのでしょうか？
そう定義された関数を取り上げているからでしょう。
関数の定義次第で等しくなる場合も、等しくならない場合もあります。

例えば
関数f(x)をf(x)=sin(x)/x(x≠0,f(x)=0(x=0)と定義すれば
f(h)=1(h→±0)とf(0)=0で等しくなりません。（x=0で微分不可能）
しかし、
関数f(x)をf(x)=sin(x)/x(x≠0,f(x)=1(x=0)と定義すれば
f(h)=1(h→±0)とf(0)=1で等しくなります。そしてx=0でf(x)が連続、かつ
微分可能となり、f'(0)=0となります。

[3]
>[h→0]と[h=0]は同じでは無いと認識しました。
その認識通りで良いと思います。

お礼

ご回答ありがとうございます。すいません。何度か見直しました。

[1]
＞lim[h→-0]（0+h-0）/h
＞を考えるときはx=0+h=h<0で考えないといけませんよ。
なるほど、理解しました。
私は、|x|という関数において、x=0において微分可能を調べるわけだから、x≧0のとき|x|=xなので、f(x)=xについて考えていました。
極限操作を伴っているのに、x≧0のときf(x)=|x|=xと考えたのが間違いなのですね。

＞[h→-0]の時 h<0ですので
＞f(x)=f(0+h)=f(h)=|h|=-h(>0)
ｈ→-0というのを0だと思い込んでいました。
が、負の方向から0に限りなく近づけるということはh＜0なのですね。
よくわかりました。
＞f(x)=f(0+h)=f(h)=|h|=-h(>0)
ですが、これはf(x)=f(0+h)=f(h)=|h|=-h(＜0)の符号間違いでしょうか？-hが0より大きくなる？

[2]、[3]に関しては納得です。
ありがとうございましたm(__)m再三、お手間を取らせてしまい申し訳ないです。

補足

たびたびすいません・・・

実際に解いて見ました。
f(x)=|x|についてx=0とx=1における左極限に関してです。
x=0のとき
lim[h→-0]（|0+h｜-|0|）/h　：h→-0の|0+h｜<0なので|0+h｜=-（0+ｈ）
lim[h→-0]-（0+h)-(0)/h=lim[ｔ→+0]-(-t)/-t=-1　

x=1のとき
lim[h→-0]（|1+h｜-|1|）/h　：h→-0の|1+h｜＞0なので|1+h｜=（1+ｈ）
lim[h→-0]（1+h-1）/h=lim[t→+0]（1-ｔ-1）/-t=1

となりました。OKでしょうか？

回答No.7

info22

#5,#6です。
A#6の補足質問の回答
>lim[h→-0]（0+h-0）/h＝lim[t→+0]（0-t-0）/-t=lim[t→+0]-t/-t=1
>となってしまい、微分可能であるとなってしまうのです。

[h→-0]のときは　h<0(h=0は含まない)なので|0+h|=-hです
h=-tとおいた場合は|0+h|=-h=t(>0)です。
したがって、上の式は間違いですので訂正すると
lim[h→-0]（-(0+h)-0）/h
＝lim[t→+0]（-(0-t)-0）/(-t)=lim[t→+0] t/(-t)=-1
となります。
右方微係数が1,左方微係数が-1で一致しないので微分不可能ということです。

>lim[h→0]とは、hは0に限りなく近づくという意味で0にはならないですか？だとすると、(h，t≠0)は必要ないでしょうか？
[h→0]はhは0に限りなく近づくという意味で0にはならない。
で良いですね。[h=0]がゼロになることを表します。
(h，t≠0)はあえて書く必要ないですね。
h=0の所で連続関数である場合は
[h→0]と[h=0]の場合の関数値は一致しますf(a±h)=f(a)(h>0として）ので
結果として同じ内容を指します。
しかしf(a±h)≠f(a)の場合は[h→0]と[h=0]は同じ内容になりません（関数の値が異なります）。[h→0]は関数の極限値であり、[h=0]のときの関数値になります。

>>x→0での極限とx=0での値は同じだと認識していたのですが・・・
「同じ」を「同義」と捉えれば同じではないですね。
「値が一致する」だけで結果として「同じ値」になるというだけのことです。
>これは、f(x)=x/|x|という関数について考えると、f(0)は定義されないが、lim[h→0] x/|x|=1なので、同じでは無いと言う認識でOKでしょうか？
「lim[h→0]x/|x|=1」の表現はまずいですね。hが含まれない 「x/|x|」に対して極限は取れませんから...。
x>0でf(x)=x/x=1,x<0でf(x)=x/(-x)=-1,x=0でf(x)=f(0)は未定義
なので、x=0の近傍でf(0)が定義されませんので連続でない。f'(0)も定義不能。f'(+0)=f'(-0)=0です。不連続点では微係数は存在しない。
左方微係数f'(+0)と右方微係数存在し、かつ、一致しても関数がx=0で連続でないため、x=0においてf(x)が微係数が存在しない（微分不可能）ということです。微分の定義は、関数の連続であることが前提（必要条件）で定義がなされています。前提（必要条件）が満たされていなければ、微分の定義式自体が意味を失いますので、そのxの点で微分不可能（微係数が存在しない）ということですね。

>例えば、f(x)=tanxのx=π/2の場合は、tanπ/2は定義されない。

なのでx=π/2における微分の定義式が書けない、
f(π/2)が未定義。f(-π/2)=+∞,f(+π/2)=-∞でいずれも未定義。
このことは、微分の定義式の前提の必要条件（x=π/2における関数の連続性）が満たされていないということです。したがってx=πでf(x)微分不可能（微係数が未定義）ということです。

お礼

ご回答ありがとうございます。親切、的確にわかりやすくご回答下さり大変感謝しております。本当に勉強になります。

[1]
＞[h→-0]のときは　h<0(h=0は含まない)なので|0+h|=-hです。
ここがよくわからないのです。
f(x)について考えると、x≧0のとき|x|=0でx＜0のとき|x|=-xとなる事は理解できます。
x=0について考えた場合に、|x|=xと考えていいと思っていたのですが、なぜ、hの極限で絶対値を考慮しなければならないのでしょうか？

[2]
＞[h→0]と[h=0]の場合の関数値は一致しますf(a±h)=f(a)(h>0とし＞＞て）ので結果として同じ内容を指します。
理屈は良くわかります。
が、[h→0]はhは0に限りなく近づくという意味で0にはならないはずなのになぜ等しくなるのでしょうか？

[3]
＞「lim[h→0]x/|x|=1」の表現はまずいですね。
仰る通りでした。hが含まれない 「x/|x|」に対して極限は取れないですね。
質問の回答は、[2]で頂きました。
f(0)が定義され関数が連続の場合、[h→0]と[h=0]の場合の関数値は一致するが、f(0)が定義されない関数も存在するため、
[h→0]と[h=0]は同じでは無いと認識しました。

以上、長々と申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。

回答No.6

info22

#5です。
A#5の補足の質問の回答

>を示して、初めて微分可能が分かると言う事ですね。
そうです。
関数が連続であるか、あるいは関数の不連続でない範囲（区間連続の範囲）であることが、導関数が存在する為の必要条件ですね。
（絶対値などの折れ点では必要条件は満たされますが左右微係数が一致しないので折れ点では導関数が存在しません（定義できない）。）

>となりx=1で微分可能となる。
>こんな感じでしょうか？
それでOKですね。

>また、x=0の時も|x|=xとして良いのでしょうか？
いいですよ。
最初の質問のx/|x|の場合は分母に|x|があったので|x|でx=0と置けなかった。→　0/|0|が未定義。

>白丸の意味を教えて頂けるとありがたいのですが。
グラフ上（またはその端）の座標点がグラフに含まれていない。
ことを表します。
>定義できない場合は白丸という認識で良いですか？
そうです。その点がグラフに含まれていないときも白丸です。
たとえば
y=sin(x)/xにおけるx=0の点
y=|x-2|>0　におけるx=0の点
y=(x^2-1)/(x-1)におけるx=1の点
y=(x^2-1)/|x-1|におけるx=1の2つの点
はいずれも白丸です。

>また、黒丸で表す場合などは無いのでしょうか？
y=-1(x<0),y=1(x≧1)で定義されるyにおける点(0,-1)は白丸、点(0,1)は黒丸です。
（黒丸は省略されることもあり。強調する場合や注意を喚起する場合はか必ず黒丸をつける。）
y=0(x<0),y=1/2(x=0),y=1(x>0)で定義されるyにおける点(0,0)と(0,1)は白丸、点(0,1/2)は黒丸をつけます。

お礼

本当にいろいろありがとうございます。
すっきりしました！！すべて納得です。

f(x)=|x|のx=0においては、x=0でf(0)=0と定義されるでOKですよね。
不定形や、無限大の時など定義されないと言う認識です。
例えば、f(x)=tanxのx=π/2の場合は、tanπ/2は定義されない。

一気にもやもやが解消しました。ありがとうございます。

補足

またまた、すみません。昨日は本当にありがとうございました。
いろいろ問題を解いてみました。

絶対値が付いている関数が難しいです・・・
f(x)=|x|のx=0において微分可能かどうかを示す場合。
f(0)が定義されていて、関数が連続であることを前提として話を進めます。
X=0は、ｘ≧0なので、|x|=x
(h，t≠0)
lim[h→+0]（0+h-0）/h＝lim[h→+0]h/h=1
lim[h→-0]（0+h-0）/h＝lim[t→+0]（0-t-0）/-t=lim[t→+0]-t/-t=1
となってしまい、微分可能であるとなってしまうのです。
微分可能ではないはずなのに・・・どこが間違っているのでしょうか？
ちょっと疑問に思ったのですが、lim[h→0]とは、hは0に限りなく近づくという意味で0にはならないですか？だとすると、(h，t≠0)は必要
ないでしょうか？

また、昨日からの疑問を追加で質問しても良いでしょうか？
＞x→0での極限とx=0での値は同じだと認識していたのですが・・・
これは、f(x)=x/|x|という関数について考えると、f(0)は定義されないが、lim[h→0]x/|x|=1なので、同じでは無いと言う認識でOKでしょうか？

以上、お手数をお掛けしますが教えてください。

回答No.4

rnakamra

>x→0での極限とx=0での値は同じだと認識していたのですが・・・
>これは、どう違うのでしょうか？

そうとは限りません。
例えば、
f(x)=x(x≠0),1(x=1)
なんて関数ではx→0での極限とx=0での値は異なります。
x→0でのf(x)の極限が存在(左右からの極限が一致する)し
、その値がf(0)と等しいとき、f(x)はx=0で連続です。(連続の定義)
>(2)連続の式よりｘ＝aにおける極限値が存在する。
これはx→aの極限が存在するというだけでx=aでの連続の定義ではありません。

>前回の質問でもあったのですが、(1)のf(a)が存在しない。本問題では、
>x=0が定義できない事は、どの様に記述すれば良いのでしょうか？
>lim[h→0]{f(0+h)-f(0)}/hにおいて、ｆ´(0)が定義できないで良いでしょうか？
単にf(0)が定義されていないので上記の計算が出来ない、でかまいません。f'(0)が定義されないのではなく、f(x)がx=0で微分可能でない、というのが正しいでしょう。

>＞定義できない点をグラフに記述することは出来ません。
>＞x<0のグラフとx>0のグラフは両方ともx=0の点を白丸にする必要があります。
>原点を白丸にすれば良いという事でしょうか？
>また、余談ですが黒丸の場合もありますか？白丸は0を含まないと言う意味でしょうか？

f(x)のグラフのx<0の部分(下側の半直線)とx>0の部分(上側の半直線)のx=0のところ(y軸との交点)を白丸にしてください。
ただ、半直線があるだけでは半直線の端点が含まれるか含まれないかわからないため、それを明示するために白丸にします。
原点を白丸にするのではありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなり申し訳ございません。

グラフに関しては、理解することができました。
また、info22様のご回答でさらに理解を深めることができました。
ありがとうございます。

＞x→0での極限とx=0での値は同じだと認識していたのですが・・・
この部分がどうしてもよく分かりません。
f(x)=xというグラフについて、f(0)=0です。
そして、lim[x→0]x=0で等しい気がするのですが・・・

また、ご回答者様のf(x)=x(x≠0),1(x=1)は2つのグラフからなりますよね。
この関数では、(x≠0)としているので、f(0)とは出来ないからですか。

理解が乏しくすいません・・・

回答No.3

rnakamra

#1のものです。
例えば、次のような関数を考えます。
f(x)=x/x
これは一見、f(x)=1　となります。
しかし、このような関数でも無条件に約分してはいけません。
f(x)=x/x　は分母が0になるところで定義できないのです。
ですからf(x)を約分して表記するには
f(x)=1 (x≠0)
としなければなりません。
これはよく省略されますが、実際に問題になる場合もあるため御注意ください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
わかりやすく説明して頂き大変感謝しております。

f(x)=x/x→f(x)=1と何も考えずにやって下りました。
f(x)=1 (x≠0)としなければ、f(x)=x/xは不定形を含むのですね。

回答No.2

proto

単純には無理ですが、工夫すれば約分できます。

絶対値の定義より、
x≧0のとき
　　|x| = x
x＜0のとき
　　|x| = -x
です。

よって、
x≧0のとき
　　x/|x| = 1
x＜0のとき
　　x/|x| = -1
となります。

これさえ理解すれば、x=0における左極限・右極限も、グラフの書き方もわかるでしょう。

絶対値の定義、復習してくださいね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解しました。大変わかりやすいです。

ひとつ質問ですが、なぜx≧0でしょうか？
x＞0ではダメですか？

回答No.1

rnakamra

>・x/|xは単純に約分できないのか。
出来ません。x<0,0<xで場合分けするしかありません。
なお、x=0では定義されていません。

>・lim[h→+0]（0+ｈ/｜0+ｈ｜-0/｜0|）/ｈはどのようにとけば良いのか？
そもそも、x/|x|がx=0で定義できません。ですから
lim[h→0]{f(0+h)-f(0)}/h
とするときのf(0)を決めることが出来ません。
たとえ、x≠0で約分できるからといってx=0で分母が0になってよい訳がないのです。
x→0での極限とx=0での値を混同しないようにしてください。
何度も言いますが、x/|x|はx=0で定義できません。

>・x/|xのx=0における部分はグラフで表現できないのか？
定義できない点をグラフに記述することは出来ません。
x<0のグラフとx>0のグラフは両方ともx=0の点を白丸にする必要があります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど、x=0では定義できないという事は理解しました。
x→0での極限とx=0での値は同じだと認識していたのですが・・・
これは、どう違うのでしょうか？

微分可能を示す場合は、
(1)ｆ（a）が存在する（ｘ＝aで定義されている）。
(2)連続の式よりｘ＝aにおける極限値が存在する。
(3)微分係数の定義より、右極限と左極限が一致する。
というステップで解くと理解しています。
前回の質問でもあったのですが、(1)のf(a)が存在しない。本問題では、
x=0が定義できない事は、どの様に記述すれば良いのでしょうか？
lim[h→0]{f(0+h)-f(0)}/hにおいて、ｆ´(0)が定義できないで良いでしょうか？

＞定義できない点をグラフに記述することは出来ません。
＞x<0のグラフとx>0のグラフは両方ともx=0の点を白丸にする必要があります。
原点を白丸にすれば良いという事でしょうか？
また、余談ですが黒丸の場合もありますか？白丸は0を含まないと言う意味でしょうか？

以上、よろしくお願い致します。