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指数関数の微分

 こんにちは、高1の者です。 指数関数の微分について質問があります。 y=a^x を微分にするとき、導関数の定義より lim {a^(x+h) - a^x}/h h→0 =lim a^x(a^h-1)/h h→0 として、h→0のとき、a^h-1→0だから 分母のhと分子のa^h-1を約分して、 与式=a^x となるのでしょうか? ググっても自然対数eやらばかり出てきてよくわかりません。 よろしくお願いします。

みんなの回答

  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)
回答No.3

こんばんは。 「分母のhと分子のa^h-1を約分」することはできません。 違う数同士で「どうせどちらもゼロになるのだから」という約分はできないのです。 たとえば、A=2B だとしましょう。 A/B の A→0 のときの極限は、1ではなく、あくまでも2なのです。 たとえば、y=x^2 などのような場合は、 lim[h→0]{(x+h)^2 - x^2}/h  = lim[h→0](2hx + h^2)/h hで約分して、  = lim[h→0](2x + h)  = 2x あくまでも、分子のhと分母のhを約分しています。 違うもので約分していません。 さて、 結論を先に言えば、 y = a^x = (e^loga)^x = e^(xloga) y’= 中の微分×外の微分 = loga・e^(xloga)  = loga・a^x です。 では、導関数の定義に沿っていくとして、 f(x+h)-f(x) = a^(x+h) - a^x  = a^x・a^h - a^x  = a^x・(a^h - 1) lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h  = lim[h→0] a^x・(a^h - 1)/h  = a^x・lim[h→0](a^h - 1)/h  = a^x・lim[h→0](e^(hloga) - 1)/h つまり、 lim[h→0](a^h - 1)/h がわかればよいわけです。 a^h = 1 + 1/z と置くと、 ・分子は a^h - 1 = 1/z ・分母は h = log[a](1+1/z) ・h→0 のとき z→0 なので、 lim[h→0](a^h - 1)/h  = lim[z→∞] (1/z)/log[a](1+1/z)  = lim[z→∞] 1/{zlog[a](1+1/z)}  = lim[z→∞] 1/log[a](1+1/z)^z ここで、 教科書に出てくるネイピア数(自然対数の底)eの定義 e = lim[z→∞](1+1/z)^z を思い出せば、 lim[z→∞] 1/log[a](1+1/z)^z = 1/log[a]e  = 1/(loge/loga)  = 1/(1/loga)  = loga 以上のことから、 lim[h→0]{f(x+h)-f(x)}/h  = lim[h→0](a^(x+h) - a^x)/h  = a^x・lim[h→0](e^(hloga) - 1)/h  = a^x・lim[z→∞] (1/z)/log[a](1+1/z)  = a^x・loga よって、 a^x の導関数は、loga・a^x です。 以上、ご参考になりましたら。

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  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.2

a>0とします。 a^x=e^{xlog(a)}なので (a^x)'={log(a)}*e^{xlog(a)}={log(a)}*(a^x)…(▲) となりますが、 高1なので、導関数の定義から微分を求めたいのでしょうか? そうなら、 > h→0のとき、a^h-1→0だから >分母のhと分子のa^h-1を約分して、 >与式=a^x これは間違いですので以下のようにして求めると良い。 自然対数の底のネピア数「e」の定義を使えばいいですね。 lim (p+1)^(1/p)=e …(◆) p→0 >lim (a^x){(a^h)-1}/h >h→0 =a^x *k …(●) とおいてkを求めよう。 k= lim {(a^h)-1}/h h→0 (a^h)-1=pとおくとh→0の時p→0 a^h=p+1 h=log(p+1)/log(a) k=log(a)* lim p/log(p+1) p→0 =log(a)* lim 1/log{(p+1)^(1/p)} p→0 =log(a)*{1/log(e)} (定義(◆)より) =log(a) (●)に求めたkを代入すれば >lim (a^x){(a^h)-1}/h >h→0 =(a^x)log(a) が得られます。((▲)と一致しますね。) (参考) http://ja.wikibooks.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%AD%A6%E5%9F%BA%E7%A4%8E/%E5%BE%AE%E5%88%86%EF%BC%92#.E6.8C.87.E6.95.B0.E9.96.A2.E6.95.B0.E3.81.AE.E5.BE.AE.E5.88.86

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回答No.1

y=a^xの微分は、a^x*logaになります。 それは、つぎの様にします。 まず、双方の対数をとります。 logy=x*loga 次に、xについて微分します。 (1/y)(dy/dx)=loga (dy/dx)=y*loga ここy=a^xを代入して、 (dy/dx)=loga*a^xとなります。

tokonokog
質問者

お礼

 ご返答ありがとうございます。 確かにそうなりますね。 しかし、なぜ最初に書いた方法は違っているのでしょうか?

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