微分可能ではない点と極値

質問

y'が存在しないことがわからないので質問します。問題は、
次の関数の極値を求めよ　(1) y=2x+3³√x^2 (2)y=|x|√(x+1) というものです。
(1) 関数の定義域は実数全体で、y=2x+3x^(2/3)であるから、ここがわからないところです。x≠0のとき、y'=2+3*(2/3)x^(-1/3) インターネットで調べたところ、y=0(x=0のとき)は微分可能なのに、x=0を除く理由がわかりません。またｙ’={2(³√x+1)}/³√ｘを出したあと、分母は０にならないからx≠0とするのは納得できますが、y'を計算する前に、x≠0と判断する理由がわかりません。本ではｙ’=0 のとき³√x=-1, 関数yはx=0のとき微分可能ではない。x=-1で極大値1　x=0のとき極小値0をとる。と書いてあります。またf(x)=2x+3³√x^2と置いて微分係数、lim(h→0){f(0+h)-f(0)}/hを計算したら、
lim(h→0) 2+3h^(-1/3)となり計算できませんでした。これがx=0を除いた理由なのかとも思いました。　
(2)定義域はx+1≧0からx≧-1,　x≧0のときy=x√(x+1) ここもわからない点ですが、
x>0のとき、y'=√(x+1)+x/{2√(x+1)} >0 (1)と同様x=0が除かれる理由がわかりません。続きは　-1≦ｘ＜0のとき　y=-x√(x+1) y'を計算して、y'=0のときｘ＝-2/3　関数yはx=-1,0で微分可能ではない。ゆえにx=-2/3で極大値(2√3)/9,x=0で極小値0をとる。最後のわからないところが、x=-1のとき微分はできない点です。
どなたか(1)のｘ＝0で微分可能ではない (2)のx=-1,0で微分可能でない理由を教えてください。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

(1)
y = 2x + 3*x^(2/3)
この式は x=0 のとき y=0 となり、とくに「x=0を代入しても困ること」はなく、定義域は「すべての実数x」です。
この式の両辺を、微分の公式に従ってxについて微分します。

y' = 2 + 2*x^(-1/3)
この微分したあとの式には x=0 を代入できません。x^(-1/3) = 1 ÷ x^(1/3) であり、x=0とすると「x^(1/3)」の部分が0になり「1÷0」の形になるからです。
ご質問の文章にあるように、極限で考えてもよいです。
lim (x→+0) x^(-1/3) = +∞、 lim (x→-0) x^(-1/3) = -∞
となるため、x→0のときのy'の極限が存在しません。
よって、「x=0のときのy'が定義できない」ため「もとのyは、x=0において微分不可能（x≠0において微分可能）」となります。

(2)
y = | x | √(x+1)
この関数は、「-1≦x≦0のとき y = -x√(x+1)…(a)」「x≧0のとき y = x√(x+1)…(b)」と場合分けされます。

(a) を微分すると y’ = -√(x+1) - x / 2√(x+1)…(a') となりますが、この式にx=-1は代入できません。(1) と同じく「分母が0」になるからです。よって「x=-1で微分不可能」となります。

つぎに (b) を微分すると y’ = √(x+1) + x / 2√(x+1)…(b') となります。
ここで、 (a') にx=0を代入すると y' = -1
(b') にx=0を代入すると y' = 1
となり、2つの値が異なります。
よって、もとの関数は「x=0で微分不可能」となります。

関数のグラフが描けるソフトを使ってみるとわかりやすいかと思います。
(1) における「x=0」、および (2) における「x=-1」のところは接線の傾きが±∞となってしまい、微分係数が定義できません。
(2) における「x=0」のところはグラフが尖ってしまい、接線の傾きが1つに定まりません。
このいずれの場合も「微分不可能」と表現します。

お礼

分母が0になるか、微分した値が異なるか、に注意します。丁寧な解説ありがとうございます。