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※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:微分可能ではない点と極値)

微分可能ではない点と極値について

このQ&Aのポイント
  • 微分可能ではない点と極値についての質問です。関数 y=2x+3³√x^2 と y=|x|√(x+1) の極値を求める問題で、特に関数の微分可能性について疑問があります。
  • 関数 y=2x+3³√x^2 の微分不可能性について調べましたが、なぜ x=0 が除外されるのか理解できません。また、関数 y=|x|√(x+1) でも x=0 が除外される理由が不明です。
  • 関数 y=2x+3³√x^2 の定義域は実数全体であり、微分不可能点が x=0 のみであることがわかりました。また、関数 y=|x|√(x+1) では x=0 および x=-1 が微分不可能点となっています。これらの点での微分不可能性の理由について教えていただけないでしょうか。

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回答No.1

(1) y = 2x + 3*x^(2/3) この式は x=0 のとき y=0 となり、とくに「x=0を代入しても困ること」はなく、定義域は「すべての実数x」です。 この式の両辺を、微分の公式に従ってxについて微分します。 y' = 2 + 2*x^(-1/3) この微分したあとの式には x=0 を代入できません。x^(-1/3) = 1 ÷ x^(1/3) であり、x=0とすると「x^(1/3)」の部分が0になり「1÷0」の形になるからです。 ご質問の文章にあるように、極限で考えてもよいです。 lim (x→+0) x^(-1/3) = +∞、 lim (x→-0) x^(-1/3) = -∞ となるため、x→0のときのy'の極限が存在しません。 よって、「x=0のときのy'が定義できない」ため「もとのyは、x=0において微分不可能(x≠0において微分可能)」となります。 (2) y = | x | √(x+1) この関数は、「-1≦x≦0のとき y = -x√(x+1)…(a)」「x≧0のとき y = x√(x+1)…(b)」と場合分けされます。 (a) を微分すると y’ = -√(x+1) - x / 2√(x+1)…(a') となりますが、この式にx=-1は代入できません。(1) と同じく「分母が0」になるからです。よって「x=-1で微分不可能」となります。 つぎに (b) を微分すると y’ = √(x+1) + x / 2√(x+1)…(b') となります。 ここで、 (a') にx=0を代入すると y' = -1 (b') にx=0を代入すると y' = 1 となり、2つの値が異なります。 よって、もとの関数は「x=0で微分不可能」となります。 関数のグラフが描けるソフトを使ってみるとわかりやすいかと思います。 (1) における「x=0」、および (2) における「x=-1」のところは接線の傾きが±∞となってしまい、微分係数が定義できません。 (2) における「x=0」のところはグラフが尖ってしまい、接線の傾きが1つに定まりません。 このいずれの場合も「微分不可能」と表現します。

situmonn9876
質問者

お礼

分母が0になるか、微分した値が異なるか、に注意します。丁寧な解説ありがとうございます。

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