ラグランジュの未定乗数法をつかって二変数関数の極値を求める問題で困ってます

質問

Γ={ (x,y)∈R^2; x^2+2y^2 = 1 }
上で定義された関数 f(x,y) = x^2+2xy+y^2 の極値を求めよ

教えていただきたいのは上の問題です

ラグランジュの未定乗数法によって極値を取る点の候補を求めると

(-1/√3, 1/√3), (1/√3, -1/√3), (2/√6, 1/√6), (-2/√6, -1/√6)

ここで、十分に小さい数 h k をとると
(1/√3, -1/√3) について

f(1/√3+h, -1/√3+k)-f(1/√3, -1/√3)

=…

= (h+k)^2 > 0

よって f は (1/√3, -1/√3)で極小

同様に(-1/√3, 1/√3) のときも極小

また
(2/√6, 1/√6) について

f(2/√6+h, 1/√6+k)-f(2/√6, 1/√6)

=…

= (h+k)(h+k+√6)

これは h k の値によって正にも負にもなる、よって極値でない

同様に
(-2/√6, -1/√6) について

f(-2/√6+h, -1/√6+k)-f(-2/√6, -1/√6)

=…

= (h+k)(h+k-√6)

これは h k の値によって正にも負にもなる、よって極値でない

としたのですが、mathmatica で確認すると
(2/√6, 1/√6), (-2/√6, -1/√6) で f は極大をとるらしく困っています

上のがオカシイのだと思いますが、どこが間違っているのか教えて欲しいです
よろしくおねがいします

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>上のがオカシイのだと思いますが、どこが間違っているのか教えて欲しいです。
h,kは独立ではなく停留点を(xo,yo)とすると、停留点(xo,yo)および(xo+h,yo+k)は
x^2+2y^2=1…(●)
上の点である条件を満たさないといけません（◆）。
停留点での（●）の微係数(y')を求めると
(1/√3, -1/√3)および(-1/√3, 1/√3)では　y'=1/2
なので、k=h/2 の関係にあるので

>f(1/√3+h, -1/√3+k)-f(1/√3, -1/√3)
f(1/√3+h, -1/√3+h/2)-f(1/√3, -1/√3)
>= (h+k)^2
=(9/4)h^2　> 0　
などとなって極小であることは変わりません。

一方
(2/√6, 1/√6)および(-2/√6, -1/√6)では　y'=-1
なので、k=-h の関係にあるので

>f(-2/√6+h, -1/√6+k)-f(-2/√6, -1/√6)
=f(-2/√6+h, -1/√6-h)-f(-2/√6, -1/√6)
>= (h-h)(h-h-√6)
=0
となります。
この場合は符号がはっきりしません。
なので（◆）の条件まで戻って
(-2/√6+h)^2+2(-1/√6+k)^2=1
h^2-4h/√6+2k^2-2k/√6=0
の条件で
>f(-2/√6+h, -1/√6+k)-f(-2/√6, -1/√6)
> = (h+k)(h+k-√6)
の符号が負になることを示せば、
f(-2/√6, -1/√6)が極大値となることを示すことが出来ます。

お礼

>x^2+2y^2=1…(●)
この条件を無視していたのがいけなかったのですね
当然の条件なのに教えてもらうまで気づけないのが、、、orz

助かりました、とても読みやすかったです
グラフまで張ってもらって恐縮です
いちど自分で確認するべきでした^^;
解答ありがとうございました