ラグランジュの未定乗数法

質問

x^2+y^2=1のときにx^3-x+y^2の最大、最小値を求めよという問題です。
ラグランジュの未定乗数法を用いて解こうとしているのですが、λ,x,yについて解が定めきれずに困っています。
つまり、x^2+y^2-1=0
3x^2-1-2λx=0
2y-2λy=0
の３式を解こうとしているのですが、うまくいきません。
ご指南宜しくお願いいたします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

単に連立方程式を解けば良いだけではないですか？
3番目の式から
y=0またはλ=1が出てきますので
それぞれの場合について残りの変数を求めればいいでしょう。

y=0の時
x=±1,λ=±1(複合同順)

λ=1の時
3x^2-1-2x=(3x+1)(x-1)=0
x=1,-1/3
x=1の時y=0
x=-1/3の時y=±2√2/3

以上から連立方程式の解は
(x,y,λ)=(1,0,1),(-1,0,-1),(-1/3,2√2/3,1),(-1/3,-2√2/3,1)
と4通りの解がでます。
それぞれについての極値は
f(1,0)=0
f(-1,0)=0
f(-1/3,2√2/3)=32/27
f(-1/3,-2√2/3)=32/27
なので
0<=f(x,y)<=32/27
x=±1,y=0の時最小値0
x=-1/3,y=±2√2/3の時最大値32/27

お礼

ご解答ありがとうございます。
自分も解答者様と同じような解答を得たのですが、λ=-1の時は考えなくて良いのでしょうか？
再度解答いただけますと幸いです。

回答No.3

info22_

>ご解答ありがとうございます。
>自分も解答者様と同じような解答を得たのですが、λ=-1の時は考えなくて良いのでしょうか？
考えたら間違いで減点対象です。
結果としてでたλに対してなぜ場合分けが必要ですか？

このλ=-1に対応するx,yはすでに確定しています（x=-1,y=0）。
λ=-1の時のxとyはλより先に確定しているのに何のためにλ=-1の
場合分けが必要ですか？場合分けすれば間違いで理解していないという点から減点対象になるだけ。

λ=1は結果としてでたλではありません。3番目の式からでた」場合分けが必要なλで、「または」の関係にある、「場合分けの必要なλ」です。

したがって、質問者さん言われるλ=-1での場合分けが必要が無いです。
（すれば間違いで減点対象になるでしょう）。

お礼

そうですね。
一度解いた式から得たy=0を他の式に代入してx=-1を得て、それからλ=-1を得ているのに、それをもう一度y=0を得た式に代入するというのは正しくないですね。
解答がいいかげんだったために、このようなミスが起こってしまったのだと自分で気づきました。
解説ありがとうございました。おかげで、納得できました！

回答No.1

spring135

x^2+y^2-1=0　　(1)
3x^2-1-2λx=0　(2)
2y-2λy=0　　　(3)

(1)から-1≦x≦1
の範囲で考える。

P=x^3-x+y^2と置く.

(3)より
y=0またはλ＝1

1）y=0のとき
(1)より
x=1または-1
1-1）x=1のとき
(2)より
λ＝1
P=0
1-2）x=-1のとき
(2)より
λ＝-1
P=0

2）λ＝1のとき
(2)より
3x^2-1-2x=0
(3x+1)(x-1)=0
ｘ＝-1/3またはｘ＝1
2-1)ｘ＝-1/3のとき
(1)よりy=2√2/3またはｙ＝-2√2/3
いずれの場合も
P=32/27

2-2）ｘ＝1のとき
(1)よりｙ＝0
P=0

結論は最大値P=32/27
最小値P=0

この問題は

P=x^3-x+y^2
に(1)からy^2=1-x^2
を代入して
P=x^3-x^2-x+1
=(x-1)^2(x+1)
として
1変数の3次関数に還元できる。

お礼

ご解答ありがとうございます。
自分も解答者様と同じような計算結果になったのですが２）におけるλ=1は1-1)で得た方ではなく、(3)のほうで得たλ=1なのでしょうか？
自分はλ=-1を(2)式にも代入してしまっていたのですが・・・
これが、連立がうまく解けない原因だったようですね。
λ=-1を(3)式に入れるとｙが任意になってしまい、おかしいなと思っていました。
先に(3)を解いてy=0を出しているのに、もう一度λ=-1を(3)に代入していたのでおかしくなったんですよね？
１度用いた式は２回用いないですよね？

お答えいただけると嬉しいです。
ちなみにx=1,y=1,λ=1は重複して2回出てきてしまっているだけで特に気にする必要はないですよね？