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ラグランジュ乗数法に関して

f(x,y)=x^3-xy+y^3において、領域D:-1≦x≦1,0≦y≦1 の最大最小値を求めよ。 どう考えるのでしょうか?ラグランジュ乗数法と睨んでるんですが、領域Dをどのように定式化知ればよいのかわからずできません。 ラグランジュ乗数法の理論的なところはわかっているのですが、それ以前の問題なのでわかる方知恵を貸してください。

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えー、ラグランジュの未定乗数法で解けないこともないですが、 普通はこの方法は等式制約条件に対して用いるため、 今回の場合みたいな不等式制約条件だと、 少し特殊なテクニックを使わなければなりません。 普通にこの問題を解く場合には、 偏微分して考えるのが一番ラクなんじゃないか と思います。 最大最小になりうるのは、 (1)極大値、極小値 (2)領域Dの境界上の最大値および最小値 ですが、まず(1)について。 ∂f/∂x=0, ∂f/∂y=0を連立させると、 解として(x,y)=(0,0)と(1/3,1/3)が出てきます。 これが極大極小の候補ですが、それぞれについて 2次偏微分係数を調べてみると、 (0,0)は極大でも極小でもなく、(1/3,1/3)が極小である ということがわかります。 そして、f(1/3,1/3)=-1/27で、これが最小値の候補です。 次に、(2)。まぁ、これはわかりますね。 x=1とか、x=-1とか、y=1とかy=0とか、 いろいろ代入してやれば文字が一つ減りますから、 その中で最大最小を出せばいいわけです。 結局、(x,y)=(-1/√3, 1)のときに最大値1+2√3/9 (x,y)=(-1,0)のときに最小値-1 になります。これと(1)をあわせれば、 たぶん最大値1+2√3/9, 最小値-1 となります。 (計算ちょっと自信なし…) さて、ラグランジュの未定乗数法について。 理論は分かっているということですので、概略だけ。 不等式制約条件を式で表すには、まぁ全部そのままでも いいんですけど、式の数を少なくするために、 x^2 - 1 <=0, (y-1/2)^2 - 1/4 <= 0 とします。 こうすれば式の数が4つから二つに減りますからね。 これを次のようにして強引に制約条件にします。 新たな変数p, qを導入します。 p^2およびq^2は必ず正ですから、 x^2-1+p^2=0, (y-1/2)^2-1/4+q^2=0 となります。これらをg,hとすれば、 この二つの式を制約条件として、 L = f + λ1g + λ2h を考え、これを6個の変数x, y, λ1, λ2, p, q で偏微分します。それぞれを0とおいて連立させ、 出てきた解が、最大値、最小値の候補です。 あとは解を吟味すればよいです。 でも、相当にめんどくさい&難しいと思います。 頑張ってやってみてください。 ふぅ、疲れた。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。 懇切丁寧でわかりやすかったです・

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  • 回答No.3

1です。ごめんなさい間違っていました。 予選決勝法で、xを固定したとき, y=1で最大値で、このときx^3-x+1ですから、 x=-1/√3で最大となります。

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質問者からのお礼

どうも、理系なのに気づきませんでした。 ありがとうございます。

  • 回答No.1

予め私が文系であることをお許しください。 さて、まず極値を考えます。(1/3,1/3)で極小値-1/27です。ほかに極値は存在しませんので、 あとは領域の境界上の点を個別に調べて終わります。 f(-1,0)=-1 f(1,0)=f(-1,1)=f(1,0)=1 で最小-1、最大1でいいんじゃないでしょうか。 全く自信がないのですが。

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