ラグランジュの未定係数法の計算について

質問

ラグランジュの未定係数法の計算について

「L=f(x,y)-λg(x,y)」のラグランジュの未定係数法を用い

x^2+y^2-25=0…(1)
という条件のもとで
f(x,y)=x^2+y^2-6x-8y…(2)
の最大値と最小値を求める、という課題が出ました。

ラグランジュの未定係数法の式を用い
「L=f(x,y)-λg(x,y)」をもとに
L=(x^2+y^2-25)-(x^2+y^2-6x-8y)

(1)の条件のもとで(2)の極値を求めるために
∂Ｌ/∂x=0
∂Ｌ/∂y=0とおき

∂Ｌ/∂x=2x-6-2λx
=(2-2λ)x-6=0

∂Ｌ/∂y=2y-8-2λy
=(2-2λ)y-8=0

と、自分でもここまでは理解できました。
ここから、どうすれば最大値と最小値を導く
λとx、yを計算すればよいかわかりません。
この部分を詳しく解説していただけると助かります。

よろしくお願いします

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

(2-2λ)x-6=0　→　x = 6/(2-2λ) = 3/(1-λ)
(2-2λ)y-8=0　→　y = 8/(2-2λ) = 4/(1-λ)

これを
x^2 + y^2 - 25 = 0
に代入すれば、
λは求まるのでは？
{3/(1-λ)}^2 + {4/(1-λ)}^2 = 25
25 = 25(1-λ)^2
1-λ = ±1

λが求まれば、x、yも求められる。

最大値、最小値が欲しいだけなら、
x^2 + y^2 = 25は半径5の円だから、
　x = 5cosθ
　y = 5sinθ
と表わせて、
これを
f(x,y)=x^2+y^2-6x-8y…(2)
に入れて、最大値、最小値を求めてもいいよ。
θで微分してもよし、三角関数の合成公式を使って、最大、最小値を求めてもよい。

あるいは、
f(x,y)=x^2+y^2-6x-8y = 25 -6x -8y = k
として、直線と円の関係からkの範囲を求めてもよい。

計算、頑張って！！

お礼

迅速な対応ありがとうございます。
加えて、詳解も非常に助かります！

ありがとうございます。また、機会ありましたら、よろしくお願いします。

補足

最大値=75
最小値=-25
と計算できました！ありがとうございます！

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

∂L/∂λ=0

が抜けてます。

これは(1)になるわけですが、3未知数で方程式3つですから
とけます。

補足

抜けていました。
ご指摘ありがとうございます！