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ラグランジュの乗数法での極値の求め方

宜しくお願い致します。 [問]ラグランジュの乗数法をを使って、x^2+y^2=1の条件下でf(x,y)=xyの極値を調べよ。 [解] 『定理(ラグランジュの乗数)g(x,y)=0のもとに、f(x,y)の極値を考える。この条件付極値を与える点(a,b)がg(x,y)=0の特異点でなければ(a,b)は連立方程式 g(x,y)=0 ∂/∂x{f(x,y)+λg(x,y)}=0 ∂/∂y{f(x,y)+λg(x,y)}=0 の解の中から得られる。』 そして、 『f(x,y)の特異点とは 「fx∈Rでない または fy∈Rでない」か「fx=fy=0」なる点』 なのでこれを利用するとまず連立方程式は (∂/∂x{f(x,y)+λg(x,y)}=)y+2λx=0…(1) (∂/∂y{f(x,y)+λg(x,y)}=)x+2λy=0…(2) x^2+y^2=1…(3) となり、(1)-(2)から (x-y)(1-2λ)=0 λ=1/2の時はxとyの値が定まらないのでλ≠1/2とすると x=yで(3)よりx=y=±1/√2 (複合同順) しかし、解答には (1/√2,1/√2) (1/√2,-1/√2) (-1/√2,1/√2) (-1/√2,-1/√2) の4つになっています。 何処らへんから間違っているのでしょうか???

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  • ベストアンサー
  • 回答No.1
  • ryn
  • ベストアンサー率42% (156/364)

> (1)-(2)から > (x-y)(1-2λ)=0 > λ=1/2の時はxとyの値が定まらないのでλ≠1/2とするとx=y この辺りが怪しいです. (1)+(2)からλ≠-1/2→x+y=0 (1)のxにx=-2λyを代入して,λ≠±1/2→y=0 のようにも出来てしまいます. 連立方程式  y+2λx=0…(1)  x+2λy=0…(2)  x^2+y^2=1…(3) を図形的に見てみると,(1),(2) はどちらも原点を通る直線です. したがって,λが特定の値以外のときは (1),(3)から得られる(x,y)と(2),(3)から得られる(x,y)は一致しません. 言い換えると3式を同時に満たす(x,y)が得られません. それでは,どうなっていれば3式を同時に満たすかというと (1),(2)の直線が同一のものとなっていればOKです. そのようなλは2つあり,それぞれに対して直線がひとつ出てくるので, あとは円との交点を求めてください.

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質問者からのお礼

有り難うございます。 (∂/∂x{f(x,y)+λg(x,y)}=)y+2λx=0…(1) (∂/∂y{f(x,y)+λg(x,y)}=)x+2λy=0…(2) x^2+y^2=1…(3) となり、 (1)-(2)から (x-y)(1-2λ)=0…(4) を得、 λ=1/2の時は (1)はy+x=0 (2)はx+y=0 でy=-xこれを(3)に代入して x=±1/√2、y=-(±1/√2) (複合同順) よって、λ≠1/2とすると(4)からx=y これを(3)に代入してx=y=±1/√2 また、 (1)+(2)から (x+y)(1+2λ)=0…(4)' も得、 λ=-1/2の時は (1)はy-x=0 (2)はx-y=0 でx=yこれを(3)に代入してx=y=±1/√2 λ≠-1/2の時は(4)'からx=-y これを(3)に代入して x=±1/√2、y=-(±1/√2) (複合同順) 以上より (1/√2,1/√2) (1/√2,-1/√2) (-1/√2,1/√2) (-1/√2,-1/√2) の4つになります。 そして、おのおのをf(x,y)に代入すると順に 1/2,-1/2,-1/2,1/2 よって (1/√2,1/√2)と(-1/√2,-1/√2)の時、最大値は1/2 (1/√2,-1/√2)と(-1/√2,1/√2)の時、最大値は-1/2 という訳ですね。

その他の回答 (2)

  • 回答No.3
  • leige
  • ベストアンサー率45% (11/24)

もう解決されたようですが y+2λx=0…(1) x+2λy=0…(2) λを消去するため (1)*y-(2)*xとすれば y^2-x^2=0 これより x=±y が得られます。

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質問者からのお礼

有り難うございます。 おかげさまで解決致しました。

  • 回答No.2

ラグランジュ乗数法だの特異点だの、難しい話は全然関係ありません。 単に、式(1)+(2)を忘れてらっしゃるだけです。

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質問者からのお礼

有り難うございます。 おかげさまで解決致しました。

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