• ベストアンサー
  • 困ってます

ラグランジュの乗数法

ラグランジュの乗数法はあくまで極値になりうる候補点を見つけるための定理だと習いました。その候補点が実際に極値なのか、またそうならば極大極小を判定したいのですが、どうすればよいのでしょうか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

見つかった候補の各点で、目的の関数を級数展開してみましょう。 一次項が 0 になって、定数 + 二次項 + 三次以上の項 と表せるハズです。 二次項は二次形式となっていますが、これが正定値二次形式なら極小値、 負定値二次形式なら極大値となり、非定値なら極値点ではありません。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • ラグランジュ未定乗数法

    2変数の条件付極値問題で、ラグランジュ未定乗数法と特異点から、極値の候補を絞り込めることは分かりましたが、候補が本当に極値かどうか判定するにはどうすればよいのでしょうか?

  • ラグランジュの乗数法での極値の求め方

    宜しくお願い致します。 [問]ラグランジュの乗数法をを使って、x^2+y^2=1の条件下でf(x,y)=xyの極値を調べよ。 [解] 『定理(ラグランジュの乗数)g(x,y)=0のもとに、f(x,y)の極値を考える。この条件付極値を与える点(a,b)がg(x,y)=0の特異点でなければ(a,b)は連立方程式 g(x,y)=0 ∂/∂x{f(x,y)+λg(x,y)}=0 ∂/∂y{f(x,y)+λg(x,y)}=0 の解の中から得られる。』 そして、 『f(x,y)の特異点とは 「fx∈Rでない または fy∈Rでない」か「fx=fy=0」なる点』 なのでこれを利用するとまず連立方程式は (∂/∂x{f(x,y)+λg(x,y)}=)y+2λx=0…(1) (∂/∂y{f(x,y)+λg(x,y)}=)x+2λy=0…(2) x^2+y^2=1…(3) となり、(1)-(2)から (x-y)(1-2λ)=0 λ=1/2の時はxとyの値が定まらないのでλ≠1/2とすると x=yで(3)よりx=y=±1/√2 (複合同順) しかし、解答には (1/√2,1/√2) (1/√2,-1/√2) (-1/√2,1/√2) (-1/√2,-1/√2) の4つになっています。 何処らへんから間違っているのでしょうか???

  • ラグランジュの乗数法を使った条件付極値問題について

    ラグランジュの乗数法を使った条件付極値問題について誰か教えてください。 x^3-6xy+y^3=0のときx^2+y^2の極値を求めよ という問題なのですが、ラグランジュの乗数法で出た式がどうしても解けません。 テストが近いにも関わらずさっぱりお手上げで困っています。 もしどなたか解ける方がいらっしゃったらどうかよろしくお願いします。

  • ラグランジュの未定乗数を二つ使う場合

    ラグランジュの未定乗数を二つ使う場合 V=xyzの極小値を、x+y+Z=1、xy+yz+zx=3の条件下で解く問題がわかりません。 ラグランジュ乗数を二つ使って解けと言われたのですが。 式は立てることができても、答えが出ません。 どなたかお助けください。 お願いします。

  • ラグランジュの未定乗数を二つ使う場合

    ラグランジュの未定乗数を二つ使う場合 V=xyzの極小値を、x+y+z=3、xy+yz+zx=1の条件下で解く問題がわかりません。 ラグランジュ乗数を二つ使って解けと言われたのですが。 式は立てることができても、答えが出ません。 どなたかお助けください。 お願いします。

  • 数学 ラグランジュの乗数を用いた最大最小問題

    数学の問題で困っています。 9x^2 +4y^2 =36 のとき、xyの最大値と最小値を求めよ。 この問題をラグランジュの乗数を用いた連立方程式と元の条件式から、 xyの極値の候補が(x,y)=(√2,3/√2),(√2,-3/√2),(-√2,3/√2),(-√2,-3/√2) の4つであることが分かったのですが、ここからどうやって最大、最小を説明するのかがわかりません。 すなわち (1)xyの極値の候補が実際に極値であることをどうやって示すのか (2)極値が最大、最小の値にもなるということをどうやって示すのか 以上の2点で困っています。 詳しい解説お願いします。

  • ラグランジュ乗数法に関して

    f(x,y)=x^3-xy+y^3において、領域D:-1≦x≦1,0≦y≦1 の最大最小値を求めよ。 どう考えるのでしょうか?ラグランジュ乗数法と睨んでるんですが、領域Dをどのように定式化知ればよいのかわからずできません。 ラグランジュ乗数法の理論的なところはわかっているのですが、それ以前の問題なのでわかる方知恵を貸してください。

  • ラグランジュの乗数法の問題なんですが…

    「φ(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + z^2 - 3 = 0 の下で、f(x, y, z) = xyz の最大値、最小値を求めよ」という問題なんですが、途中からわからなくなってしまって…。 S':φ=0は有界閉集合だからf(x,y,z)はS'上で最大値、最小値をとる。 (x0,y0,z0)で極値を取るとすると、S'上でgradφ(4x,2y,2z)≠0、 ラグランジュ乗数法より∃λ0 s.t. gradf(x0, y0, z0) = λ0gradφ(x0, y0, z0)、 すなわち(y0z0, x0z0, x0y0) = λ0(4x0, 2y0, 2z0) ここまで色々参考にやってみたのですが、あってるのかもわからずこれからどうすればいいのかもわからなくなってしまいましたorz 解法、もしくはヒントなどよろしくお願いします。

  • ラグランジュ乗数法のはいりで…。

    ラグランジュ乗数法を学ぼうとしています。まだラグランジュ乗数法の式を使って、問題を解くなどはしてないのですが、その解説の部分で腑に落ちないところがあったので、質問させてください。 その記述は、 g(x,y) = xy - 36 = 0 の条件のもとで、 f(x,y) = 2x + 3y の極値を求めることを考える。求める極点をxy平面上に落とした点をAとし、極点そのものをBとする。これは等高線g上を動く点がAを通過する瞬間、その上空では z = f(x,y) = 2x + 3y 内の曲線が谷底あるいは山頂になっていることを意味している。動点Bは等高線g上を動いているので、全微分方程式 dz = gxdx + gydy において、 dz = 0 である。 とあるのですが、なぜ動点Bは等高線上を動くのでしょうか?動点Bはxy平面上の双曲線に沿って動く(xy平面を上から見下ろした時に、双曲線に沿って動く)と思うのですが、点自体は f(x,y) = 2x + 3y 上にあるので、等高線上は動かないと思うのですが…。 よろしくお願いします。

  • ラグランジュの乗数法

    ラグランジュの乗数法で ∂/∂λ(f-λg)=0 ⇔ g=0 はどのように導くのでしょうか。 それぞれの記号はよく使われると思われるものをそのまま用いました。 そこから推測していただけますでしょうか。 よろしくお願いします。