ラグランジュ

質問

条件ax+by+c=0のとき、(x-α)^2+(y-β)^2の極値を求めよ、という問題でラグランジュ未定乗数法の２階の条件というのを使って解かなければいけません。縁つきヘシアンが出てくるそうで、よくわかりません。誰か助けてください。

回答No.1

arrysthmia

型通りの計算練習だと思います。

f = (x - α)^2 + (y - β)^2
g = f + (ax + by + c)λ
と置き、
まず、g を x,y,λ の三変数関数と見て、臨界点を求める。

0 = ∂g/∂x = 2(x - α) + aλ
0 = ∂g/∂y = 2(y - β) + bλ
0 = ∂g/∂λ = ax + by + c
を解いて、
λ = 2 (aα + bβ + c) / (a^2 + b^2)
x = α - aλ/2
y = β - bλ/2

これを代入して、臨界値は
g = (aα + bβ + c)^2 / (a^2 + b^2)

この臨界値が f の極値か否かを判定するには、f のヘッシアンを使う。

∂^2 f/∂x^2 = 2
∂^2 f/∂y^2 = 2
∂^2 f/∂x∂y = ∂^2 f/∂y∂x = 0
より、
(∂^2 f/∂x^2) (∂^2 f/∂y^2) - (∂^2 f/∂x∂y) (∂^2 f/∂y∂x) = 4

ヘッシアン > 0 かつ ∂^2 f/∂x^2 > 0だから、
(aα + bβ + c)^2 / (a^2 + b^2) は f の極小値である。