2変数関数の極値について

質問

F(x,y)=xy　が　G(x,y)=x^2＋xy＋y^2-1　を満たしているとき、F(x,y)の極値を求めよ。

という問がわかりません。
ラグランジュの未定乗数法を用いて解いてみたのですが、

・極値をもつ可能性のある点は、(±1/√3, ±1/√3) または(±1,∓１) でよろしいのでしょうか？
・これらをF(x,y)に代入した値を極小値、極大値としてもよろしいのでしょうか？

御教授よろしくお願いいたします。

回答No.4

info222_

問題文に間違いはないですか?
>F(x,y)=xy　が　G(x,y)=x^2＋xy＋y^2-1　を満たしているとき、F(x,y)の極値を求めよ。
このままではG(x,y)が意味を持たず問題として不完全で、極値が存在せず、ラグランジュの未定乗数法も適用できません。

正しくは
　実数x,y　が　G(x,y)=x^2＋xy＋y^2-1=0　を満たしているとき、F(x,y)=xy の極値を求めよ。
でしょう。

上記のように訂正したとして回答（解答）します。
>・極値をもつ可能性のある点 　←　停留点と言います。

>は、(±1/√3, ±1/√3) または(±1,∓１) でよろしいのでしょうか？

ただし（複号同順）なら合ってます。

>・これらをF(x,y)に代入した値を極小値、極大値としてもよろしいのでしょうか？

極値候補であって、極値であるとは断言できません。

しかし、極大値が存在するなら、４個の停留点でのF(x,y)の中に極大値が存在します。
また、極小値が存在するなら、４個の停留点でのF(x,y)の中に極小値が存在します。

G(x,y)=0は原点の周りに45度回転すれば楕円になることからx,yが有界であることを示すか、
G(x,y)=0にx,yの２次方程式の実数条件を適用してx,yの取り得る範囲を求めて、
F(x,y)=xyが最大値（極大値）と最小値（極小値）を持つ」
ことを示す必要があります。

停留点(x,y)=(1,-1)および,(-1,1)でF(x,y)=-1
停留点(x,y)=(1/√3,1/√3)および(-1/√3,-1/√3)でF(x,y)=1/3
停留点は４個のみで、F(x,y)の値は-1と1/3のみですから
1/3がF(x,y)の最大値（極大値）であり、-1がF(x,y)の最小値(極小値)であることが
言えます。

回答No.3

Tacosan

問題がおかしい. 「G(x,y)=x^2＋xy＋y^2-1　を満たしている」ってなんだよ.

回答No.2

ask-it-aurora

方針としては回答No.1のようにやります．

より厳密には次のようにやります．
【存在の確認】まず曲線 G(x, y) = 0 は楕円なので有界な閉集合です．よって連続関数 F(x, y) は最大値と最小値を取ります．
【候補の列挙】極値の候補はラグランジュの未定乗数法から得られます．
【解の選定】実際の値を代入してみると点 (±1/√3, ±1/√3) で共通の値 1/3 を，点 (±1, ∓１) で共通の値 -1 を取るので，これらは最大値と最小値で，特に極大値と極小値です．極値の候補は上で挙げた4つだけだったので，極大値と極小値はこれらですべてです．

回答No.1

spring135

G=0という制限下においてFの極値を求めるのに

ラグランジュの未定乗数法λを用いて

L=F-λG

をx,y,λで偏微分して0とおいた連立方程式は極値の候補を与えます。

つまり、極大値、極小値を与えるx,yはこの連立方程式の解の中に含まれるということで、

そうでない解も含まれるということです。

したがって、極値を与える解であるかどうかは解を検討する必要があります。

この問題では連立方程式は

(1-λ)y=2λx

(1-λ)x=2λy

x^2＋xy＋y^2-1=0

であり、

λ＝1/3または-1

1)λ=1/3のとき

(x,y)=(±1/√3,±1/√3) ,F=1/3

2)λ=1のとき

(x,y)=(±1,∓1) ,F=-1

となり、

1）の場合、極大値

2）の場合、極小値

となっているとみなすことができます。