極値

質問

p＞0,q＞0とする。2つの関数f(x)=x^3-3x+pおよびg(x)=x^3+qx^2-1が等しい極大値をもち、さらに等しい極小値をもつとする。このときのp,qの値と極大値,極小値を求めよ。

極値が等しい場合は、どうすればいいのでしょうか？
微分していろいろ計算してみたのですが、よくわかりません。
途中計算から教えてもらえると嬉しいです。

回答No.3

noname#47975 · ベストアンサー

まず、f(x) = x^3 - 3x + pにおいて、
f'(x) = 3x^2 - 3 = 0より、x=±1であり、
グラフの概形より、
極大値はf(-1),極小値はf(1)である。
次に、g(x) = x^3 + qx^2 - 1において、
g'(x) = 3x^2 + 2qx = 0より、x = 0 , -2/3qであり、
ここで、q > 0より、0 > -2/3qである。
グラフの概形より、
極大値はg(-2/3q),極小値はg(0)である。

以上より、

f(1) = g(0) ----(1)
f(-1) = g(-2/3q) --- (2)
を得る。

後は、(1)(2)から得られるp,qの連立方程式を解いて解を求めるだけですね。
答えはp = 1 , q = 3になると思います。

回答No.4

info22

3次多項式f(x),g(x)のx^3の係数が共に1で極大値、極小値とも等しく
しかし一次の項が異なりますので同一式ではありません。
つまりf(x)とg(x)はx方向に平行移動した関係にあると言うことです。

g(x)=(x^3)+q(x^2)-1
=f(x-a)={(x-a)^3}-3(x-a)+p
=(x^3)-3a(x^2)+3{(a^2)-1}x-(a^3)+3a+p
係数を比較して
q=-3a…(A)
(a^2)-1=0…(B)
-(a^3)+3a+p=-1…(C)
q>0故(A)からa<0
(B)からa=-1
(A),(C)から(p,q)=(3,1)
したがって
f(x)=(x^3)-3x+1
f'(x)=3(x^2)-3=3(x+1)(x-1),f"(x)=6x
f"(-1)=-6<0,極大値f(-1)=3,f"(1)=6>0,極小値f(1)=-1
g(x)=(x^3)+3(x^2)-1=f(x+1)
極大値g(-2)=f(-1)=3,極小値g(0)=f(1)=-1

回答No.2

ta73

p>0、q>0なので、g(x)の極値もどちらが極大値でどちらが極小値かは判断できます。
なので特に場合わけは必要なく

f(-1)＝g(-2q/3)
f(1)＝g(0)

を解けばいいのではないでしょうか？

回答No.1

fukuda-h

f(x).g(x)をそれぞれ微分して
f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)
増減表をかいて極大値f(-1)=p+2,極小値f(1)=p-2が解ります・・・・(1)

g'(x)=3x^2+2qx=0とおくと
x=0,-2q/3
g(0)=-1,g(-2q/3)=(4q^3)/27-1
さて、どっちが極大、極小かはまた増減表で調べて
[1]q<0のとき
極大値p+2=(4q^3)/27-1
極小値p-2=-1
これからp=1
3=(4q^3)/27-1これを解くとq=3
これはq<0に反するので不適
[2]q>0のとき
[1]とは反対で
p+2=-1
p-2=(4q^3)/27-1
これから
p=-3
-5=(4q^3)/27-1
からｑ=-3
(1)から極大値p+2=-1,
極小値p-2=-5
ですね