導関数の応用

質問

２つの関数 f(x)=x^3-3x+p と g(x)=x^3+qx^2-1 が等しい極大値と等しい極小値をもつように,定数p,qの値を求めなさい。ただし,q>0とする。

という問題の解き方を教えてください。どこから手を付ければよいのかさっぱりです。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

次のように進めていってください。

１）f(x)、g(x)を微分する。

２）f'(x)＝０と置いて、f(x)の極大値・極小値を求める。
　このとき3次関数でx^3の係数が正のグラフでは、極値が存在すれば、ｘが小さい方が極大値で、ｘが大きい方が極小値になることを利用してください。
　答えは次のようになると思います。
　　極大値：　f(-1)=2+p、　極小値：　f(1)＝-2+p

３）g'(x)＝０と置いて、g(x)の極大値・極小値を求める。
　q>0なので、答えは次のようになると思います。
　　極大値：　g(-2q/3)=4q^3/27-1、　極小値：　g(0)＝-1

４）f(x)とg(x)の極大値・極小値がそれぞれ等しいので、次の連立方程式が成り立ちます。
　　2+p=4q^3/27-1、　-2+p=-1

　これらを解けば、次のような答えが得られると思います。
　∴p=1、q=3

回答No.2

Dmaru

まずf(x)を微分してf'(x)=3x^2-3とし、これから増減表を作ります。
するとx=-1で極大値p+2・・・(1),x=1で極小値p-2・・・(2)となります。
また同様にg(x)を微分してg'(x)=3x^2+2qxとし、増減表を作ると、(q>0なので)x=-(2/3)qのとき極大値(4/27)q^3-1・・・(3)、x=0のとき極小値-1・・・(4)となります。
(2)、(4)が等しくなるのでp-2=-1つまりp=1
この値を(1)に代入すると3。よって3＝(3)となればよい。
(4/27)q^3-1=3をといてq=3
よってp=1,q=3

多分こうではないでしょうか？