• ベストアンサー
  • すぐに回答を!

極値をとるa,bを求める問題について教えてください

関数f(x) = x / (x^2 + ax + b) がx=1で極大値1/2 をとるという。 このとき定数a,bの値を求めよ。 この問題が全然わかりません。 極値を求めろ ということは微分してf '(x)を求めて、 それが1/2になるようにすればいいのでしょうか?

noname#177863

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数589
  • ありがとう数1

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.2

>>微分してf '(x)を求めて、それが1/2になるようにすればいいのでしょうか? そういうわけではありません。 まず、x = 1 で極大値をとるので、x = 1 での f (x) の傾きは 0 になる、すなわち、 f '(1) = 0   ・・・(1) となることが必要です。 次に、関数 f (x) は x = 1 で 1/2 という値をとるので、 f (1) = 1/2   ・・・(2) です。 (1)、(2)より、 a = 0 , b = 1 が求められます。 ここで、問題文をよく読んでみましょう。 「x = 1で『極大値』 1/2」 となっていますが、a と b の値を求めただけでは x = 1 で極大値をとるかどうかはわかりません。何故なら、x = 1 で極小値をとるかもしれませんし、極値をとらないかもしれない(例:f (x) = x^3 の x = 0 のときのようなもの)からです。 なので、f (x) に a = 0 , b = 1 を代入して、実際にグラフを描き、確かに極大値をとることを示すという作業を入れなければなりません。 グラフを描くと、(この作業はご自身で行ってください。)確かに x = 1 で極大値をとることがわかります。 よって、a = 0 , b = 1 です。 なお、f '(x)= (-x^2+b)/(x^2+ax+b)^2 です。 乱筆乱文をお許し下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

なるほど。よくわかりました。 詳しい説明ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 極値をとる⇒f'(a)=0の逆の確認

    高校数学IIからの質問です。 『f(x)がx=aで極値をとる⇒f'(a)=0が成り立ち、その逆は常に成り立つとは限らない』というのは理解できたんですが、例えば『関数f(x)=X~3+aX~2+bX+1は、X=1で極大値9をとる。このとき、定数a、bの値を求めよ』のような問題を実際に解くとき、逆の確認はそれほど大事なことなのでしょうか?確認しないと何か大きな問題が生じる場合もあるのでしょうか? 宜しくお願いします。

  • 極値の条件から関数決定

    3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極大値2をとり,x=2で極小値-6をとるとき,定数a,b,c,dの値を求めよ。 教えてほしいところ この問題でa,b,c,dの値が求まった後、その値で本当に極値をとるのか見当する必要があるらしいんですが理解できません。 f`(α)=0→f(x)がx=αで極値をとる これがなり立たないのは理解できます。なぜなら,f`(x)=0でD=0の可能性があるからです。 しかし、今回の問題ではf`(x)=0の解は2つあるという条件を組み込んでいるので、D=0の可能性は消えます。 つまり、f`(x)=0の解がα,βで(α>β)→f(x)がx=αで極値をとるということは成り立つはずです。 さらに、どちらが極大で極小をとるという保証もf(0)=-6,f(2)=0で十分なはずです。 よって逆の確認は必要ないのでは??? ご意見ください。

  • 3次関数が極値をもつ必要十分条件

    3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ なんですよね? これは、f'(x)=0が実数解α、β(α≠β)をもつとき、f(α)、f(β)は極値となる、ということにはならないんでしょうか? 例えば、 3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるとき、定数a,b,c,dの値を求めよ。 という問題で、 x=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとる⇒f'(0)=0、f'(2)=0 つまりf'(x)=0が異なる2つの実数解をもつのだから、しかもf(0)=2、f(2)=-6という条件も代入しているのだから、a,b,c,dを求めた後に確認をする必要があるというのが理解できません…

その他の回答 (1)

  • 回答No.1
  • ferien
  • ベストアンサー率64% (697/1085)

関数f(x) = x / (x^2 + ax + b) がx=1で極大値1/2 をとるという。 このとき定数a,bの値を求めよ。 この問題が全然わかりません。 極値を求めろ ということは微分してf '(x)を求めて、 >それが1/2になるようにすればいいのでしょうか? x=1のとき、f(x)の値が1/2ということだから、f(1)=1/2 x=1で極大値になるから、f'(x)=0の解が1であるということだから、f'(1)=0 この2つの式からa、bについての連立方程式が作れるから、a、bの値が求められます。 a=0、b=1になりましたが。。やってみて下さい。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

関連するQ&A

  • 極値

    p>0,q>0とする。2つの関数f(x)=x^3-3x+pおよびg(x)=x^3+qx^2-1が等しい極大値をもち、さらに等しい極小値をもつとする。このときのp,qの値と極大値,極小値を求めよ。 極値が等しい場合は、どうすればいいのでしょうか? 微分していろいろ計算してみたのですが、よくわかりません。 途中計算から教えてもらえると嬉しいです。

  • 数学「微分法」の問題が分りません。教えてください。

    (1)aは0以上の定数です。このとき、関数y=x^2(x&#65293;a)の極値を求めてください。(途中式もお願いします。) (2)関数f(x)=ax^3&#65293;3ax^2+b (1≦x≦3)の最大値が8、最小値が&#65293;4であるとき、定数a、bの値を求めてください。ただし、a<0とします。 (途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)a=0のとき極値を持たない、a>0のとき極大値0(x=0) 極小値&#65293;4a^3/27(x=2a/3) (2)a=&#65293;3、b=&#65293;4

  • 極値を持つ条件(微分)について

    極値を持つ条件(微分)について 『f(x)=x^3+ax^2+ax+1が極値をもたないように  定数aの値の範囲を定めよ』 という問題の答えを f'(x)=3x^2+2ax+a=0 の判別式DについてD=4a^2-12a≦0であればいよいから 0≦a≦3/4と考えたのですが、 テキストの答え0≦a≦3に一致しません。 どこで間違っていますか?

  • 積分の極値の問題での疑問

    f(x)=∫x~2(t^3-t)dtの極値について。まず微分すると f'(x)=x(x+1)(x-1),積分するとf(x)=[(1/4)t^4-(1/2)t^2]=(1/4)x^4-(1/2)x^2-2となり極大値-2(x=0)極小値-9/4(x=+-1)となると思います。ここで疑問に思ったのがf(x)=x^3-xのグラフのx軸との交点は-1,0,1ですが例えば0から2までの積分だとx軸との囲まれた部分は0から1までですよね?ですがこの場合1から2の部分も積分してその値も加えた極値というとらえ方でよろしいのでしょうか?よかったら積分の極値の捉え方を間違っていたらいけないので積分の極値の定義についてもどなたか教えていただけないでしょうか?

  • 微分 極値をもつ条件

    極値をもつ条件、という題で出題されている問題なのですが、 3次関数 f(x)=ax^3-6x^2+(a-1)x について、 つねに増加する時の定数aの値の範囲を求めろ、という問題で、 まず、f(x)を微分し、f'(x)>0であれば常に増加するというのは分かります。 しかし、解答を見ると、(判別式)<0であれば良いとが記されています。 常に増加する際に、判別式で虚数解を持てば良い、という部分が考えても分かりませんでした。 この点について何方か解説お願いします。

  • 数学「微分法」の問題が分りません。教えてください。

    (1)kは定数とします。3次関数f(x)=&#65293;x^3+kx^2&#65293;3kx&#65293;2があります。(途中式もお願いします。) (1)f(x)が極値をもつようなkの値の範囲を求めてください。 (2)f(x)が単調に減少する関数となるようなkの値の範囲を求めてください。 (2)関数f(x)=x^3+ax^2+xが0<x<1の範囲で極大値と極小値をもつように、定数aの値の範囲を定めてください。(途中式もお願いします。) ちなみに答えは、 (1)(1)k<0、9>k (2)0≦k≦9 (2)&#65293;2<a<&#65293;√3 です。

  • 数学の微分についてです。

    閲覧ありがとうございます。 問題で『aを定数とする。関数f(x)=2X^2&#65293;3(a+2)X^2+12aXが極値をもつとき』 (1)aが満たすべき条件を求めよ。 (2)f(x)の極大値が32となるとき、aの値を求めよ。 なんですが、自分の答としては…極値があるなのでD/4>0を使い、a<0、2<aしたのですが、解答はa≠2になっていました。 自分の解答『a<0、2<a』でもよろしいですか? あと(2)なんかの場合は、(1)で出したaの値の範囲をそれぞれ別で求めればいいだけですか?

  • 極値について

    今、数学で「微分・積分」をやっているのですが、 「関数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c がx=1で極大値3,x=3で極小値をとるように,定数a,b,cの値を定めよ。」 といった問題に出くわしました。 答えは導けたのですが、 解答には最後に、 「逆に、このとき・・・・・・・・・・・したがって条件を満たす」 ということが書かれています。 必要・十分条件がどうのこうのって理由で、 この文が無いと減点されるらしいのですが、 いまいちよくわかりません。 この文が無いとどういう可能性が考えられてしまうのか、 教えてください。

  • 数学の解答解説お願いします。

    いつもお願いしてばかりですみません。今回もお願いします。 a,b,cは実数とする。f(x)=x^3+ax^2+bx+c x=0のとき極大値3をとる。 b,cの値を出せ。という問題です。 f(x)にx=0を代入してc=3は出せました。 またf(x)を微分して極値を取るので3x^2+2ax+b=0という式も 出しましたが・・ bの値はどのようにしたら出せるでしょうか? 解答解説よろしくお願いします。

  • f(x)=|x| の極値

    関数f(x)=|x| はx=0で微分可能ではないが、x=0のとき極小値を持つのは、x=0の前後で、f'(x)の符号が&#65293;から+になるためでよいでしょうか。f'(0)=0となる必要はないのですよね。これと比較して関数f(x)=x^3は、f'(x)の符号が常に+になるために、f'(0)=0であっても、極値を持たない。 ここで質問ですが、f'(x)の符号が、f'(a)の前後で変化したらx=aで極値になるのか、 f'(x)の符号が、f'(a)=0を満たすa,の前後で変化したらx=aで極値になるのか、どちらですか教えてください。