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3次関数が極値をもつ必要十分条件

3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつ なんですよね? これは、f'(x)=0が実数解α、β(α≠β)をもつとき、f(α)、f(β)は極値となる、ということにはならないんでしょうか? 例えば、 3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるとき、定数a,b,c,dの値を求めよ。 という問題で、 x=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとる⇒f'(0)=0、f'(2)=0 つまりf'(x)=0が異なる2つの実数解をもつのだから、しかもf(0)=2、f(2)=-6という条件も代入しているのだから、a,b,c,dを求めた後に確認をする必要があるというのが理解できません…

noname#137812

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  • 回答No.2
  • sanori
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>>> つまり今回の問題では、a,b,c,dを求めた後、『a>0であるから条件は満たされる。』としていいのでしょうか? f(0)=2、f(2)=-6を代入しているのだから、a≠0であることだけ言えればいいようにも思えるのですが、違うんですよね… 全然違います。 a>0 であることを前提として、a~dを求めることになります。 問題文が「x=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるとき」と言っている時点で、 すでに、a>0 が確定します。 しかし、まあ、基本から言えば、a>0 を前提とせずに、fの2回微分を使って、 ・f(0)が極大値であるためには、f’’(0)<0(fはx=0において上に凸)だから、f(0)は極大値、 ・f(2)が極小値であるためには、f’’(2)>0(fはx=2において下に凸)だから、f(2)は極小値、  とするのが「真面目な解答の書き方なんでしょうね。

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  • 回答No.1
  • sanori
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こんにちは。 >>>3次関数f(x)が極値をもつ⇔f'(x)=0が異なる2つの実数解をもつなんですよね? はい。 >>これは、f'(x)=0が実数解α、β(α≠β)をもつとき、f(α)、f(β)は極値となる、ということにはならないんでしょうか? なります。 >>> 例えば、 3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとるとき、 定数a,b,c,dの値を求めよ。 という問題で、 x=0で極大値2をとり、x=2で極小値-6をとる⇒f'(0)=0、f'(2)=0 つまりf'(x)=0が異なる2つの実数解をもつのだから、しかもf(0)=2、f(2)=-6という条件も代入しているのだから、a,b,c,dを求めた後に確認をする必要があるというのが理解できません… x=0とx=2を比較すると、グラフではx=0が左、x=2が右ですよね。 a>0のときは、x=0で極大値、x=2で極小値となります。 a<0のときは、x=0で極小値、x=2で極大値となります。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございます。 つまり今回の問題では、a,b,c,dを求めた後、『a>0であるから条件は満たされる。』としていいのでしょうか? f(0)=2、f(2)=-6を代入しているのだから、a≠0であることだけ言えればいいようにも思えるのですが、違うんですよね…

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