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三次関数の導出

次の問題について ある三次関数について、極小値は(4,-53)、極大値の座標が(-2,55)であることが分かっています。 三次関数の式を求めよ (元は違う問題なので、答えが求まらないかもしれません) 関数をf(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおき、 f'(x)=0より、f'(x) = 3ax^2+2bx+c = (x-2)(x-4) = 0とおきました。 条件から変曲点が(1,1)ですから、これも利用して計算しようとしているのですが、 a,b,c,dの値が一定に定まりません。 上記条件付けに何か間違っているところはあるでしょうか。

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  • alice_44
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f'(4) = 0, f'(-2) = 0, f''(1) = 0, f(1) = 1 だけで4式あるので、 a,b,c,d の連立一次方程式として不足はないはずですが… f'(x) = (x-2)(x-4) は、ひとつ係数を置いて f'(x) = 3a(x-2)(x-4) でないといけないけれど、 これが解かったのなら、後は積分して f(x) - f(1) = ∫[1,x] 3a(x-2)(x-4) dx でも済むのでは? 最後に、a を求めるために (4,-53) か (-2,55) かを代入する。 積分するとき f(x) - f(4) = ∫[4,x] 3a(x-2)(x-4) dx として、後で (-2,55) を代入すれば、 変曲点の考察は要らないけれど、 (1,1) を使ったほうが、計算は楽かな。

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  • 回答No.2

>ある三次関数について、極小値は(4, -53)、極大値の座標が(-2, 55)であることが分かっています。 >関数をf(x)=ax^3+bx^2+cx+dとおき、 f'(x)=0 より、f'(x) = 3ax^2+2bx+c = (x-2)(x-4) = 0とおきました。 ここは、  f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c = 3a(x+2)(x-4) なのでしょうね。  3a(x+2)(x-4) = 3ax^2 - 6ax -24a なので、  b = -3a/2, c = -24a   …(*) (*) を f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d へ代入して、極小・極大値の条件を使うと、  f(4) = 64a - 24a - 96a + d = -53  f(-2) = -8a - 6a + 48a + d = 55 なる連立方程式。 あとはお任せ。    

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  • 回答No.1

極大値が左、極小値が右にある、3次関数なので、a>0ですね。 f(-2) = -8a + 4b - 2c + d = 55 f(4) = 64a + 16b + 4c + d = -53 f'(-2) = 12a - 4b + c = 0 f'(4) = 48a + 8b + c = 0 f(4)-f(-2) = 72a + 12b + 6c = -108 12a + 2b + c = -18 6b = -18 b = -3 f'4) - f'(-2) = 36a + 12b = 0 a = 1 f(x) = x^3 - 3x^2 - 24x + 27 条件付は間違ってないみたいです。

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