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<微分> 3次関数の微分の問題

3次関数f(x)=ax^3+bx^2+cx+dがx=1で極小値-1/12をとり、x=2で極大値1/12をとる。 定数a,b,c,dを求めよ という問題です。 f'(x)=3ax^2+2bx+c として、 f'(1)=0 f'(2)=0 f(1)=-1/12 f(2)=1/12    この4つの式からabcdを使った式を出したのですが、 どのように変形すれば答えが出るのでしょうか? 教えていただければ幸いです。

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それぞれの式に代入して,a,b,c,dに関する4元連立一 次方程式を解いてもいいわけですが,めんどくさいです よね。だから,文字数をできるだけ減らしましょう。具 体的には以下の通りです。 f'(1)=f'(2)=0 なので f'(x)=3a(x-1)(x-2)=3ax^2-9ax+6a となるから,係数比較して 2b=-9a⇔b=-9a/2, c=6a よって f(x)=ax^3+(-9a/2)x^2+6ax+d となり,bとcが消去できたのでずっとラクです。 ここから f(1)=-1/12 f(2)=1/12  を代入すればいいです。ちなみに答えは a=-1/3,b=3/2,c=-2,d=3/4 です。   x=pで極値⇒f'(p)=0(逆は成り立たない) をうまく使って下さい。  

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  • 回答No.4

他の方と同じようなことですが・・・。 出てきた4つの式は4元連立方程式というもので、これを解くには、文字(未知数)を1つずつ減らしていけばよい訳です。 例えば、まずdを含まない式を3つ作ります。そのためには、初めの4つの式のうち、2つの式はdを含んでいませんから、dを含む他の2つの式からdをなくした式を1つ導きます。(2つの式の両辺の差を取ればよいでしょう。)すると、dを含まない式が合わせて3つできます。これが、3元連立方程式と呼ばれるものです。 後は同じようにして、この3元連立方程式から、例えばcを消去したa,bだけを含む2つの式から成る2元連立方程式を作ります。(これはもう解けると思いますが・・・。) そして、最後には例えばbを消去したaだけを含む1つの式から成る1元(連立)方程式を作ります。これは解けますから、aが求まり、aが求まればbが求まり、a,bが求まればcも求まり、a,b,cが求まればdも求まります。 なお、この問題の解法で、a,b,c,dの4元連立方程式を解くのは嫌だというのであれば、   f´(x)=A(x-1)(x-2)      =Ax^2-3Ax+2A とおいてみると、   f(x)=(A/3)x^3-(3A/2)x^2+2Ax+d ・・・ (1) と表せるので、   f(1)=-1/12   f(2)= 1/12 より、Aとdの2元連立方程式を作り、それを解けばAとdが求まり、(1)に代入して、f(x)を求めることもできます。

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  • 回答No.3

未知数は、a,b,c,dの4つで式も4つですので、単なる4元連立方程式です。なので、文字を一つずつ消去すれば、解くことができます。 まぁ、それは非常に面倒なので、別の方法をいくつか紹介します。(といっても、ここに書いたこと以上のことは考えてないので、面倒なのも含まれているかもしれません) f'(x)=3a(x-1)(x-2) より、b,cをaを用いて表す。 f(1)=-1/12,f(2)=1/12からa,dを求める。 y=f(x)は、変極点(3/2,0)に関して点対称であることから、 f(x)=a(x-3/2)^3+e(x-3/2) と表せる。f'(1)=0,f(1)=-1/12からa,eを決定。(f'(2)=0,f(2)=1/12からでもいい) 極大と極小を結ぶ直線(y=x/6-1/4)が変極点(極大と極小の中点)を通るので、 f(x)-x/6+1/4=a(x-1)(x-2)(x-3/2) さらに、f'(1)=0の条件から、aを決定。(f'(2)=0からでもいい)

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  • 回答No.1
  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)

4元1次の連立方程式になると思うので 普通に文字を1つづつ消去していけばいいですよ 未知数が4、式が4なので答えが出るはずです

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