２変数関数の極値

質問

２変数関数ｆ（ｘ,ｙ）＝ｘ^３－（ｘ^２－ｙ^２）/２＋ｘｙ^２を考える、という問題です。

問題の（３）でｆ（ｘ,ｙ）の極値を求めよ、と問われたのですが、
Ｄ（ｘ,ｙ）＝ｆxy（ｘ,ｙ）^２ーｆxx（ｘ,ｙ）ｆyy（ｘ,ｙ）
とおき、ｚ＝ｆ（ｘ,ｙ）の停留点（ａ，ｂ）をもとめて、極値の判定を行ったところ、Ｄ（ａ，ｂ）＞０となり
ｆ（ａ，ｂ）は極値ではないとなってしまいました。
ちなみに、停留点は（０，０）になりました。
これは正解なのでしょうか？それとも計算間違いですか？
間違っていたら過程を教えていただけないでしょうか。お願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#1,#3,#4です。
A#4の補足の回答
> ２変数関数ｆ（ｘ,ｙ）＝ｘ^３/３－（ｘ^２－ｙ^２）/２＋ｘｙ^２を考える、という問題でした。

やり方が理解できているなら、自力でできるはず。

滞留点は２つ。
fx(x,y)=0,fy(x,y)=0から滞留点(x,y)=(0,0),(1,0)

(x,y)=(0,0)は
A=-1<0,D=1>0から 極小点でない（鞍点）。

(x,y)=(1,0)は
A=1>0,D=-3<0から　極小点である。
極小値f(1,0)=1/3-(1-0)/2+0=-1/6

です。

お礼

わかりました。
長い間、ありがとうございました☆

回答No.4

info22

#1,#3です。
A#3の補足質問の回答
>x^２-x+y^２＝０・・・(1)(■)
>y+２xy=０　　　・・・(2)
>>(1)の式が間違っていますのでfx(x,y)を計算しなおしてみて、(1)を正した後、連立方程式を解いて見てください。

(2)は合っていますので
(1)式についてだけ
>やっぱりできません。
>fx(x,y)=3x^3/3 -2x・2 +0 +y^2
>　　　　　　　＝x^2-x+y^2
積分と微分の公式をごっちゃ混ぜにしていませんか？

>>f(x,y)=x^3-(x^2-y^2)/2 +xy^2
fx(x,y)= 3x^2 - (2x +0)/2 + y^2
= 3x^2 - x + y^2
fx(x,y)=0とおけば
　3x^2 - x + y^2 = 0…(1)(●)
が出てきます。質問者さんの(■)の式とはなりませんね。

(1)(●)と
>　y+2xy=0　　　・・・(2)
を解けば滞留点が出てきます。
(2)から
y(1+2x)=0
y=0またはx=-1/2
x=-1/2のとき(1)(●)から
(3/4)+(1/2)+y^2=0
これを満たす実数yは存在しない。

y=0のとき(1)(●)から
3x^2 - x=0
3x(x-1/3)=0
x=0,x=1/3

したがって、滞留点は
(0,0)と(1/3,0)
の2つになりますね。

補足

申し訳ないです。最初に書いた問題が間違っていました。
２変数関数ｆ（ｘ,ｙ）＝ｘ^３/３－（ｘ^２－ｙ^２）/２＋ｘｙ^２を考える、という問題でした。
本当にすみません。
この場合、極値なしになるのでしょうか？
無駄骨させてすみませんでした。

回答No.3

info22

#1です。
補足質問の回答

>x^２-x+y^２＝０・・・(1)
>y+２xy=０　　　・・・(2)
この連立方程式自体が間違っていますので、解いても
正しい滞留点は出てきませんよ。

ちゃんとfx(x,y)とfy(x,y)を計算して下さい。
そして、fx(x,y)=0とfy(x,y)=0から連立方程式を作って下さい。
正しい連立方程式ができてから、滞留点を求めないと、(１)、(２)を解いても無駄な努力になりますよ。

(1)の式が間違っていますのでfx(x,y)を計算しなおしてみて、(1)を正した後、連立方程式を解いて見てください。
連立方程式に(0,0),(1/3,0)を代入してみれば(1),(2)式が合っている事は確認できるでしょう。
正しい連立方程式からは、上の２組の解以外には実数解は存在しません。
（他は共役な虚数解になる）

fx(x,y)を計算してみて下さい。それらを解けば、正しい滞留点(0,0)と(1/3,0)が出てきますよ。
補足質問する場合は、解答の途中経過を書いて質問して下さい。
今回のようにfx,fyの計算や連立方程式の解く過程がかいてないと、
どこで計算ミスしているかを発見するのに時間がかかりますので…。

補足

やっぱりできません。
ｆｘ（ｘ、ｙ）＝3x^3/3－2x・2＋０＋y^2
　　　　　　　＝x^2-x+y^2
ｆｙ（ｘ、ｙ）＝０＋０＋2ｙ/2＋2ｘｙ
　　　　　　　＝ｙ＋2ｘｙ
どこが間違っているのか、まったくわかりません。
おしえてください。

回答No.2

gef00675

停留点は（０，０）のほかに、（1/3, 0)があって、この点で極小となるようです。

回答No.1

info22

>停留点は（０，０）になりました。
(0,0)以外に(1/3,0)も停留点です。
>間違っていたら過程を教えていただけないでしょうか。
間違いがあります。

>極値の判定を行ったところ、D(a,b)＞0 となり
>f(ａ,ｂ）は極値ではないとなってしまいました。

これは停留点(0,0)については正しい（つまり鞍点）ですが、
もう1つの停留点(1/3,0)については
D(1/3,0)=-5/3<0かつA(1/3)=fxx(1/3,0)=1>0なので極小点になります。
極小値はf(1/3,0)=-1/54 です。

補足

x^２-x+y^２＝０・・・(1)
y+２xy=０　　　・・・(2)
をといたのですが、どう解けば（１/３，０）がでるのでしょうか？
（０，０）も解けたわけではなくこれしかないと思ったからなんです。
方程式を解くの苦手みたいです。