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2変数関数の極値

2変数関数f(x,y)=x^3-(x^2-y^2)/2+xy^2を考える、という問題です。 問題の(3)でf(x,y)の極値を求めよ、と問われたのですが、 D(x,y)=fxy(x,y)^2ーfxx(x,y)fyy(x,y) とおき、z=f(x,y)の停留点(a,b)をもとめて、極値の判定を行ったところ、D(a,b)>0となり f(a,b)は極値ではないとなってしまいました。 ちなみに、停留点は(0,0)になりました。 これは正解なのでしょうか?それとも計算間違いですか? 間違っていたら過程を教えていただけないでしょうか。お願いします。

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#1,#3,#4です。 A#4の補足の回答 > 2変数関数f(x,y)=x^3/3-(x^2-y^2)/2+xy^2を考える、という問題でした。 やり方が理解できているなら、自力でできるはず。 滞留点は2つ。 fx(x,y)=0,fy(x,y)=0から滞留点(x,y)=(0,0),(1,0) (x,y)=(0,0)は A=-1<0,D=1>0から 極小点でない(鞍点)。 (x,y)=(1,0)は A=1>0,D=-3<0から 極小点である。 極小値f(1,0)=1/3-(1-0)/2+0=-1/6 です。

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質問者からのお礼

わかりました。 長い間、ありがとうございました☆

その他の回答 (4)

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#1,#3です。 A#3の補足質問の回答 >x^2-x+y^2=0・・・(1)(■) >y+2xy=0   ・・・(2) >>(1)の式が間違っていますのでfx(x,y)を計算しなおしてみて、(1)を正した後、連立方程式を解いて見てください。 (2)は合っていますので (1)式についてだけ >やっぱりできません。 >fx(x,y)=3x^3/3 -2x・2 +0 +y^2 >       =x^2-x+y^2 積分と微分の公式をごっちゃ混ぜにしていませんか? >>f(x,y)=x^3-(x^2-y^2)/2 +xy^2 fx(x,y)= 3x^2 - (2x +0)/2 + y^2 = 3x^2 - x + y^2 fx(x,y)=0とおけば  3x^2 - x + y^2 = 0…(1)(●) が出てきます。質問者さんの(■)の式とはなりませんね。 (1)(●)と > y+2xy=0   ・・・(2) を解けば滞留点が出てきます。 (2)から y(1+2x)=0 y=0またはx=-1/2 x=-1/2のとき(1)(●)から (3/4)+(1/2)+y^2=0 これを満たす実数yは存在しない。 y=0のとき(1)(●)から 3x^2 - x=0 3x(x-1/3)=0 x=0,x=1/3 したがって、滞留点は (0,0)と(1/3,0) の2つになりますね。

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質問者からの補足

申し訳ないです。最初に書いた問題が間違っていました。 2変数関数f(x,y)=x^3/3-(x^2-y^2)/2+xy^2を考える、という問題でした。 本当にすみません。 この場合、極値なしになるのでしょうか? 無駄骨させてすみませんでした。

  • 回答No.3
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#1です。 補足質問の回答 >x^2-x+y^2=0・・・(1) >y+2xy=0   ・・・(2) この連立方程式自体が間違っていますので、解いても 正しい滞留点は出てきませんよ。 ちゃんとfx(x,y)とfy(x,y)を計算して下さい。 そして、fx(x,y)=0とfy(x,y)=0から連立方程式を作って下さい。 正しい連立方程式ができてから、滞留点を求めないと、(1)、(2)を解いても無駄な努力になりますよ。 (1)の式が間違っていますのでfx(x,y)を計算しなおしてみて、(1)を正した後、連立方程式を解いて見てください。 連立方程式に(0,0),(1/3,0)を代入してみれば(1),(2)式が合っている事は確認できるでしょう。 正しい連立方程式からは、上の2組の解以外には実数解は存在しません。 (他は共役な虚数解になる) fx(x,y)を計算してみて下さい。それらを解けば、正しい滞留点(0,0)と(1/3,0)が出てきますよ。 補足質問する場合は、解答の途中経過を書いて質問して下さい。 今回のようにfx,fyの計算や連立方程式の解く過程がかいてないと、 どこで計算ミスしているかを発見するのに時間がかかりますので…。

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質問者からの補足

やっぱりできません。 fx(x、y)=3x^3/3-2x・2+0+y^2        =x^2-x+y^2 fy(x、y)=0+0+2y/2+2xy        =y+2xy どこが間違っているのか、まったくわかりません。 おしえてください。

  • 回答No.2

停留点は(0,0)のほかに、(1/3, 0)があって、この点で極小となるようです。

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>停留点は(0,0)になりました。 (0,0)以外に(1/3,0)も停留点です。 >間違っていたら過程を教えていただけないでしょうか。 間違いがあります。 >極値の判定を行ったところ、D(a,b)>0 となり >f(a,b)は極値ではないとなってしまいました。 これは停留点(0,0)については正しい(つまり鞍点)ですが、 もう1つの停留点(1/3,0)については D(1/3,0)=-5/3<0かつA(1/3)=fxx(1/3,0)=1>0なので極小点になります。 極小値はf(1/3,0)=-1/54 です。

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質問者からの補足

x^2-x+y^2=0・・・(1) y+2xy=0   ・・・(2) をといたのですが、どう解けば(1/3,0)がでるのでしょうか? (0,0)も解けたわけではなくこれしかないと思ったからなんです。 方程式を解くの苦手みたいです。

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