2変数関数の極値の問題について

質問

関数 f(x,y) = x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2 の極値を求めよという問題で,

fx = 4x^3 - 4x + 4y = 0, fy = 4y^3 - 4y + 4x = 0

という関係から極値を得る候補点が(√2, -√2) , (-√2, √2) , (0, 0) が得られるようなのですが, まず前2つの候補点を求める方法が知りたいです.

よろしくお願いします.

回答No.3

info222_ · ベストアンサー

>fx = 4x^3 - 4x + 4y = 0, fy = 4y^3 - 4y + 4x = 0

>という関係から極値を得る候補点が(√2, -√2) , (-√2, √2) , (0, 0) が得られる
>ようなのですが, まず前2つの候補点を求める方法が知りたいです.

連立方程式fx=0, fy=0から導出された連立方程式
x^3 - x + y= 0　…(A)
y^3 - y + x = 0　…(B)
を解けば求まるでしょう。
(A)-(B)より
x^3-y^3-2x+2y=0
(x-y)(x^2+xy+y^2)-2(x-y)=0
(x-y)(x^2+xy+y^2-2)=0
y=x …(C)
または
x^2+xy+y^2-2＝０ …(D)

(C)のとき、(A)より x=y=0 …(E)
>まず前2つの候補点を求める方法が知りたいです.
(D)のとき　x={-y±√(y^2-4(y^2-2))}/2
　　　　　x={-y±√(8-3y^2)}/2
(B)に代入して
　y^3-y+{-y±√(y^2-4(y^2-2))}/2=0
　2y^3-3y±√(8-3y^2)=0
　(2y^3-3y)^2-(8-3y^2)=0
　4y^6-12y^4+12y^2-8=0
　y^6-3y^4+3y^2-2=0
　(y^2-2)(y^4-y^2+1)=0
y^4-y^2+1=(y^2-(1/2))^2+(3/4)>0なので
　y^2=0
　y=±√2 …(F)
(D)に代入
　x(x±√2)=0
x=0, -(±√2)
x=0とすると (A)より　y=0となり(F)と矛盾。∴x≠0
∴x=-(±√2) …(G)
(F),(G)は(A)を満たす。

以上から極値を得る候補点（停留点）は、(E),(F),(G)をまとめると
(√2, -√2) , (-√2, √2) , (0, 0)
と得られる。

お礼

おかげさまで理解できました. 丁寧な解答をありがとうございます.

回答No.2

spring135

4x^3 - 4x + 4y = 0 (1)

4y^3 - 4y + 4x = 0 (2)

(1)-(2)より

x^3-y^3-2x+2y=0

(x-y)(x^2+xy+y^2-2)=0 (3)

(1)+(2)より

x^3+y^3=0

(x+y)(x^2-xy+y^2)=0 (4)

(3),(4)を組み合わせて計算を進める。

1)x-y=0, x+y=0 ⇒ (x,y)=(0,0)

2)x-y=0, x^2-xy+y^2=0 ⇒ (x,y)=(0,0)

3)x^2+xy+y^2-2=0, x+y=0 ⇒ (x,y)=(√2,-√2),(-√2,√2)

4)x^2+xy+y^2-2=0, x^2-xy+y^2=0 ⇒ xy=1,x^2+y^2=1 ⇒ xy=1,x+y=±√3

　x,yを2根とする2次方程式はt^2∓√3t+1=0,判別式D=3-4＜0 ⇒　実解はない

以上より

(x,y)=(0,0),(√2,-√2),(-√2,√2)

補足

なるほど理解できました. ありがとうございました.

回答No.1

Tacosan

fx + fy を因数分解してみよう.

お礼

なるほど, ありがとうございます.