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2変数関数のテイラーの定理の問題について

どうにか2変数関数のテイラーの定理の問題まで解き進めることができました。 ここまでこれたのも、こちらでご指導くださった皆様のおかげと大変感謝しております。まだまだ勉強不足ですが、引き続きご鞭撻のほど、よろしくお願いしまします。 2変数関数のテイラーの定理の問題を解いてみたのですが、 これであっているのか、ご指導いただければと思います。 特に(5)が自信ないです。 【問題】 次の2変数関数に、n=2の場合の「マクローリンの定理」を適用せよ。 ※2変数関数のマクローリンの定理 f(x,y)=f(0,0) +(1/1!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)} f(0,0) +(1/2!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(2) f(0,0) +… +(1/(n-1)!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n-1) f(0,0) +(1/n!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n) f(θx,θy) (0<θ<1) ※2変数関数のマクローリンの定理(n=2の場合) f(x,y)=f(0,0)+{fx(0,0)+fy(0,0)y} +(1/2){fxx(θx,θy)x^(2)+2fxy(θx,θy)xy+fyy(θx,θy)y^(2)} (1) x+y f(x,y)=x+y f(0,0)=0 fx(x,y)=1 fx(0,0)=1 fy(x,y)=1 fy(0,0)=0 fxx(x,y)=0 fxx(0,0)=0 fxy(x,y)=0 fxy(0,0)=0 fyy(x,y)=0 fyy(0,0)=0 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)=0 (2) x^2+y^2 f(x,y)=x^2+y^2 f(0,0)=0 fx(x,y)=2x fx(0,0)=0 fy(x,y)=2y fy(0,0)=0 fxx(x,y)=2 fxx(θx,θy)=2 fxy(x,y)=0 fxy(θx,θy)=0 fyy(x,y)=2 fyy(θx,θy)=2 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・0xy+2y^2) =(1/2)(2x^2+2y^2) =x^2+y^2 (3) x^2+2xy+y^2 f(x,y)=x^2+2xy+y^2 f(0,0)=0 fx(x,y)=2x+2y fx(0,0)=0 fy(x,y)=2x+2y fy(0,0)=0 fxx(x,y)=2 fxx(θx,θy)=2 fxy(x,y)=2 fxy(θx,θy)=2 fyy(x,y)=2 fyy(θx,θy)=2 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・2xy+2y^2) =(1/2)(2x^2+4xy+2y^2) =x^2+2xy+y^2 =(x+y)^2 (4) x^3+y^3 f(x,y)=x^3+y^3 f(0,0)=0 fx(x,y)=3x^2 fx(0,0)=0 fy(x,y)=3y^2 fy(0,0)=0 fxx(x,y)=6x fxx(0,0)=0 fxy(x,y)=0 fxy(0,0)=0 fyy(x,y)=6y fyy(0,0)=0 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用する。 ただし、3次式のため、fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)までの計算とする。 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)=0 (5) e^(x)・sin(y) f(x,y)=e^(x)・sin(y) f(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 fx(x,y)=e^(x)・sin(y) fx(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 fy(x,y)=e^(x)・cos(y) fy(0,0)=e^(0)・cos(0)=1・1=1 fxx(x,y)=e^(x)・sin(y) fxx(θx,θy)=e^(θx)・sin(θy) fxy(x,y)=e^(x)・cos(y) fxy(θx,θy)=e^(θx)・cos(θy) fyy(x,y)=e^(x)・(-sin(y))=-e^(x)・sin(y) fyy(θx,θy)=-e^(θx)・sin(θy) 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+1y) +(1/2)(e^(θx)・sin(θy)・x^2+2・e^(θx)・cos(θy)・xy-e^(θx)・sin(θy)y^2) =y+(1/2)e^(θx)(sin(θy)・x^2+2cos(θy)・xy-sin(θy)y^2) =y+(1/2)θ・e^(θx)(sin(y)x^2+2cos(y)xy-sin(y)y^2) =y+(1/2)θ・e^(θx)((x^2-y^2)sin(y)x^2+2cos(y)xy) 以上、よろしくお願いしたします。

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>δ/δx,δ/δy の記号は ∂/∂x,∂/∂y の記号「∂」を使ってください。 (「でる」、「すうがく」などででてきます。) 参考) http://www.fem.info.gifu-u.ac.jp/member/yamachu/kaisekigaku2/05.ppt 以降 R3=(1/3!){x・(∂/∂x)+y・(∂/∂y)}^3 f(θx,θy) =(1/6){x^3fxxx(θx,θy)+fxxy(θx,θy)+fxyx(θx,θy) +fyxx(θx,θy)+fxyy(θx,θy)+fyxy(θx,θy) +fyyx(θx,θy)+fyyy(θx,θy)+fxyx(θx,θy)} (0<θ<1) とおきます。 >(1) x+y >fx(x,y)=1 >fx(0,0)=1 >fy(x,y)=1 >fy(0,0)=0 × =1 >f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)=0 × f(x,y)=0+(1x+1y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)+R3=x+y R3=0 >(2) x^2+y^2 >f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・0xy+2y^2) +R3 >=x^2+y^2 R3=0 >(3) x^2+2xy+y^2 >f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・2xy+2y^2) +R3 >=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 R3=0 >(4) x^3+y^3 >f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)=0 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)+R3 =0+R3 R3=x^3+y^3 >(5) e^(x)・sin(y) >f(x,y)=e^(x)・sin(y) >f(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 >fx(x,y)=e^(x)・sin(y) >fx(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 >fy(x,y)=e^(x)・cos(y) >fy(0,0)=e^(0)・cos(0)=1・1=1 >fxx(x,y)=e^(x)・sin(y) fxx(0,0)=0 >fxy(x,y)=e^(x)・cos(y) =fyx(x,y) fxy(0,0)=fyx(0,0)=1 >fyy(x,y)==-e^(x)・sin(y) fyy(0,0)=0 fxxx(x,y)= f(xxx(θx,θy)= fxxy(x,y)=fxyx(x,y)=fyxx(x,y)= fxxy(θx,θy)=fxyx(θx,θy)=fyxx(θx,θy)= fxyy(x,y)=fyxy(x,y)=fyyx(x,y)= fxyy(θx,θy)=fxyx(θx,θy)=fyxx(θx,θy)= fyyy(x,y)= fyyy(θx,θy)=fxyx(θx,θy)=fyxx(θx,θy)= R3=(1/6){x^3fxxx(θx,θy)+fxxy(θx,θy)+fxyx(θx,θy) +fyxx(θx,θy)+fxyy(θx,θy)+fyxy(θx,θy) +fyyx(θx,θy)+fyyy(θx,θy)+fxyx(θx,θy)} (0<θ<1) = らを計算してください。 そうすると f(x,y)=y+xy+R3 R3=(1/6)e^(θx)*{x(x^2-3y^2)*sin(θy)+y(3x^2-y^2)*cos(θy)} (0<θ<1) が出てきます。

参考URL:
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_9/cont09_3.html

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質問者からのお礼

いつも大変丁寧な回答をしていただいた上、 記号の間違いも指摘していただき、感謝しております。 ようやく、きっりち理解できた気がします。 本当にありがとうございました。

その他の回答 (2)

  • 回答No.2

> 問題文にn=2とあるので、f'''は切り捨てればいいのだろうと考えて 以前の質問( x^5 の展開 )で理解して頂いたかと思っていました。残念です。 誤差項を切り捨ててよかったら、任意の関数が多項式と = になってしまいますね。 m 次多項式を n 次テーラー展開した場合、 n > m の場合は、m+1次項以降と誤差項が 0 になることによって、 n ≦ m の場合は、誤差項が差を埋める適切な多項式になることによって、 結局、展開式はもとの多項式と同一になるのでした。 3次近似では x^3+y^3 ≒ 0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2) ということであって、 決して、 x^3+y^3 = 0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2) ではありません。 x+y や x^2+y^2 の3次展開も、 誤差項は、計算したら値が 0 になったのであって、勝手に切り捨てるのではありません。

参考URL:
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4598665.html

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質問者からのお礼

いつも丁寧な解説をいただき、ありがとうございます。 おっしゃるように、前回の質問では そのあたりを漠然としか理解していないまま、 機械的に計算式にあてはめて考えていました。 おかげで、ようやく理解できた気がします。 何度も似たような質問をしてしまい、失礼いたしました。 お世話になりました。

  • 回答No.1
  • proto
  • ベストアンサー率47% (366/775)

(4)の回答に余剰項が含まれていないのは何故ですか? あなたが示したテイラー展開の定義式にあるθxとθyが、(4)の回答には登場していませんよね。 例えば定義式でfxx(θx,θy)となっている部分に、回答ではfxx(0,0)が当てはめられているようですが、それではおかしいのでは?

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質問者からのお礼

早速のご指導、ありがとうございます。 変数が3次まであるので、そのままマクローリン展開すれば、余剰項がn=3なので、f'''を導かないといけないと考えました。 しかし、問題文にn=2とあるので、f'''は切り捨てればいいのだろうと 考えて、fxx(0,0)をあてはめた次第です。 上記のようにしたものの、この考え方であってるか自信がなく 質問させていただいた次第ですが、 やはりまちがってたようですので、以下のように訂正します。 fxx(θx,θy)=6θx fxy(θx,θy)=0 fyy(θx,θy)=6θy よって、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(6θx^3・x^2+2・0xy+6θy^3) =3θx^3+3θy^3 =3θ(x^3+y^3) お世話になりました。

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