指数やLogが含まれる2変数関数 f(x,y)の偏微分について

質問

こちらの皆様のおかげで、2変数関数 f(x,y)の偏微分の解き方が
ようやく理解できました。大変ありがとうございました。
それで、追加の質問で申し訳ないのですが、
以下の解き方があっているか、ご指導のほど、よろしくお願いします。

【問題】
次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。
すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。

(5) Log √(x^2+y^2+1)
先に質問をした回答より、
fx(x,y)(x^2+y^2+1)=x/√(x^2+y^2+1)
fy(x,y)(x^2+y^2+1)=y/√(x^2+y^2+1)
また、(Log x)\'=1/xの公式と合わせて,
Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/x
Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/y

(6) e^(xy)
fx(x,y)=e^(xy)
fy(x,y)=e^(xy)

(7) sin xy
fx(x,y)=cos xy = y * cos x
fy(x,y)=cos yx = x * cos y

(8) e^x * sin y
fx(x,y)=e^x * sin y
fy(x,y)=e^x * cos y

(9) x^2 cos xy
積の微分の公式 より、
fx(x,y)=2x * cos xy + x^2(-sin xy) = 2x cos xy -x^2 sin xy
fy(x,y)=x^2 * ( -sin xy) = -x^2 sin xy

以上、適用する公式などにおかしいところがあれば、
ご指導お願いします。

回答No.1

boobee0125 · ベストアンサー

(8) 以外は微妙に違うような気がします。

(5) f(x,y) = Log √(x^2+y^2+1) の場合
fx(x,y)
= {1/√(x^2+y^2+1)}*(1/2)*(2x)/√(x^2+y^2+1)
= x/(x^2+y^2+1)
fy(x,y) = y/(x^2+y^2+1)

(6) f(x,y) = e^(xy) の場合
fx(x,y) = y * e^(xy)
fy(x,y) = x * e^(xy)

(7) f(x,y) = sin(xy) の場合
fx(x,y) = - y * sin(xy)
fy(x,y) = - x * sin(xy)

(8) f(x,y) = e^x * sin y の場合（これは合っていました）
fx(x,y) = e^x * sin y
fy(x,y) = e^x * cos y

(9) f(x,y) = x^2 * cos(xy) の場合
積の微分の公式 より、
fx(x,y)
= 2x * cos(xy) + x^2 * {-y * sin(xy)}
= 2x * cos(xy) - y * x^2 * sin(xy)
fy(x,y) = x^2 * {-x * sin(xy)} = -x^3 * sin(xy)

>以上、適用する公式などにおかしいところがあれば、
>ご指導お願いします。

下記の合成関数の微分公式の適用が違うように感じます。

(d/dx)f(g(x)) = (d/dg)f{g(x)} * (d/dx)g(x)

例えば上記の(6)の場合では g(x) = xy として

(d/dg)f(g(x)) = e^(g(x)) = e^(xy)
(d/dx)g(x) = (d/dx)xy = y
となるため
fx(x,y) = (d/dg)f{g(x)} * (d/dx)g(x) = e^(xy) * y
となります。

お礼

早速のご指導ありがとうございます。
指摘のあった箇所は、再度計算してみます。
ありがとうございました。

補足

たびたびですいません、初歩的な質問でお恥ずかしいのですが、
解答くださった(7)の解き方について質問があります。

>(7) f(x,y) = sin(xy) の場合
> fx(x,y) = - y * sin(xy)
> fy(x,y) = - x * sin(xy)

sin xを微分するとcos xとなるので、同様に
fx(x,y)におけるsin xyの微分もy * cos(xy)になるので
fx(x,y) = y * cos(xy)になると考たのですが、
違うのでしょうか？

お手数ですが、再度ご指導のほど、よろしくお願いします。

回答No.2

boobee0125

>>(7) f(x,y) = sin(xy) の場合
>> fx(x,y) = - y * sin(xy)
>> fy(x,y) = - x * sin(xy)

>sin xを微分するとcos xとなるので、同様に
>fx(x,y)におけるsin xyの微分もy * cos(xy)になるので
>fx(x,y) = y * cos(xy)になると考たのですが、
>違うのでしょうか？

ごめんなさい。(7)は間違いました。下記に訂正させて頂きます。
(7) f(x,y) = sin(xy) の場合
fx(x,y) = y * cos(xy)
fy(x,y) = x * cos(xy)

ただし元の解答の表現（下記）は間違いです。
(7) sin xy
fx(x,y)=cos xy = y * cos x
fy(x,y)=cos yx = x * cos y

お礼

早速の解答、ありがとうございました。
おかげで、疑問点がすっきりしました。
今後もご指導をお願いすると思いますが、
懲りずによろしくお願いします。