2変数関数 f(x,y)の偏微分する方法をご指南ください

質問

2変数関数 f(x,y)を偏微分をといてみたものの
あっているか自信がありません。(特に4番)
わかる方、ご指導よろしくお願いします。

【問題】
次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。
すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。

(1) x^2+3x+y+2

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 2x+3
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 1

(2) x^2y^3+3x+2y

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 2xy^3+3
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 3x^2+2

(3) (x-y)/(x+y)

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 1/1=1
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = -1/1=-1

(4) √(x^2+y^2+1)

f(x,y)=√(x^2+y^2+1)=(x^2+y^2+1)^(1/2)

xに関するyの偏微分: fx(x,y) = 1/(√(x^2+y^2+1)) ?
yに関するyの偏微分: fy(x,y) = 1/(√(y^2+x^2+1)) ?

※(4)は、答えに全く自信がありません。
　できれば、途中の計算プロセスを詳しく教えていただけると助かります。

以上、よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

(1) x^2+3x+y+2
>fx(x,y) = 2x+3
>fy(x,y) = 1
OK

(2) x^2y^3+3x+2y
>fx(x,y) = 2xy^3+3
OK
>fy(x,y) = 3x^2+2
×
3x^2*y^2+2

(3) (x-y)/(x+y)
>fx(x,y) = 1/1=1
×
1/(x+y)-(x-y)/(x+y)^2=2y/(x+y)^2
>fy(x,y) = -1/1=-1
×
-1/(x+y)-(x-y)/(x+y)^2=-2x/(x+y)^2

(4) √(x^2+y^2+1)
>f(x,y)=√(x^2+y^2+1)=(x^2+y^2+1)^(1/2)
>fx(x,y) = 1/(√(x^2+y^2+1)) ?
×
={(x^2+y^2+1)^(1/2)}'=(1/2)(x^2)'*(x^2+y^2+1)^(-1/2)
=x/√(x^2+y^2+1)
>fy(x,y) = 1/(√(y^2+x^2+1)) ?
×
fx(x,y)と同様に
=y/√(x^2+y^2+1)

お礼

いつも丁寧で詳しい解説ありがとうございます。
年末のお忙しい中、回答をいただき、ありがとうございました。
おかげで、計算の仕方がよくわかりました。お世話になりました。

回答No.1

noname#111804

（１）はOKです。

（２）のｙに関する偏微分は
fy(x,y) = 3x^2（ｙ＾２）+2
になるようです。

お礼

早速のご指導ありがとうございます。
(2)の計算ミスをご指摘いただき、ありがとうございました。