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xについての偏微分

2変数関数f(x,y) f(x,y) = xy^2/x^2+y^2   ((x,y)≠(0,0)のとき)     =   0 ((x,y)=(0,0)のとき) をxについて偏微分するとどうなりますか?また、(0,0)での偏微分はどうしたらいいのでしょうか? 宜しくお願いします。

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noname#224896
noname#224896

f(x,y) = xy^2/(x^2+y^2)   ((x,y)≠(0,0)のとき)     =   0 ((x,y)       (0,0)のとき) ==================================================== >>xについて偏微分するとどうなりますか? >yを定数とみなしxについて微分すれば良い。 >f(x,y)は原点を含め連続関数なので #1さん,申し訳ありません. 申し訳ないのですが, まだ,関数f(x,y)は原点を含めた, 『偏微分可能性』と『関数の連続性』が示されていません. しかしながら,偏微分だけであれば,(0,0)において, 偏微分可能性の証明が必要となってきます. ==================================================== 【原点における関数f(x,y)の偏微分可能性】 原点(0,0)におけるf(x,y)の偏微分可能性について調べる. (連続性については後述を参照) y=0,または,x=0の何れでも,f(x,0)=0 かつ f(0,y)=0となる. よって,y=0のとき, (∂/∂x)f(x,0)=(x→0)lim{{f(x,0)-f(0,0)}/x} ...(1) 関数の定義より,f(0,0)=0 また,f(x,0)=0となることから, (1)式は,(x→0)lim{0/x}=0となり, 原点において,f(x,y)が,偏微分係数の定義より, xについて,偏微分可能であることが判った. つまり,f_x(0,0)=0 となる. 同様にして,原点において,f(x,y)が,偏微分係数の定義より, yについて,偏微分可能であることが判る. つまり,f_y(0,0)=0 すなわち,原点において, 関数f(x,y)は,xについても,yについても偏微分可能であり, その偏微分導関数は,それぞれ, 原点(0,0)においては, f_x(0,0)=0 f_y(0,0)=0 となり, 原点以外の点では,xについて偏微分すると, f_x(x,y) ={{∂(xy^2)/∂x}(x^2+y^2)-{∂(x^2+y^2)∂x}(xy^2)}/(x^2+y^2)^2 ={(y^2)(x^2+y^2)-2(xy)^2}/(x^2+y^2)^2 ={(y^2)(y^2-x^2)}/(x^2+y^2)^2 ={(y^2)(y+x)(y-x)}/(x^2+y^2)^2 ∴f_x(x,y)={(y^2)(y+x)(y-x)}/(x^2+y^2)^2 原点以外の点では,yについて偏微分すると, f_y(x,y) ={{∂(xy^2)/∂y}(x^2+y^2)-{∂(x^2+y^2)∂y}(xy^2)}/(x^2+y^2)^2 ={(2xy)(x^2+y^2)-(2y)(xy^2)/(x^2+y^2)^2 ={(2xy)(x^2+y^2-y^2)}/(x^2+y^2)^2 ={(2(x^3)y}/(x^2+y^2)^2 ∴f_y(x,y)={(2(x^3)y}/(x^2+y^2)^2 まとめると, f_x(x,y)は, 原点で,0となり, それ以外の点では, f_x(x,y)={(y^2)(y+x)(y-x)}/(x^2+y^2)^2 となる. また, f_x(x,y)は, 原点で,0となり, それ以外の点では, f_y(x,y)={(2(x^3)y}/(x^2+y^2)^2 となる. ---------------------------------------------------- 【関数f(x,y)の原点における連続性】 以下,関数f(x,y)が点(0,0)において連続であるか否か確認する. 即ち,(x.y)→(0,0)のとき,f(x,y)の極限値を考える. f(x,y) = (xy^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0)のとき)より, y=mxとおくと, (mは,m≠0を満たす任意の実数とする) f(x,mx) = {x(mx)^2}/{x^2+(mx)^2} ={(m^2)x^3}/{(1+m^2)x^2 } ={(m^2)/(1+m^2)}x つまり, (x→0)lim{f(x,mx)}=0 (x.y)→(0,0)のとき,f(x,y)→0 よって,原点において, 関数f(x,y)が連続であることが証明された. ==================================================== 気になったもので,横から入って申し訳ありません. ====================================================

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  • 回答No.1
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)

>f(x,y) = xy^2/(x^2+y^2)   ((x,y)≠(0,0)のとき) 分母にカッコが付くのでは? そうなら >xについて偏微分するとどうなりますか? yを定数とみなしxについて微分すれば良い。 f(x,y)は原点を含め連続関数なので 積の微分法を使い y≠0の時 fx=∂f/∂x=y^2/(x^2+y^2)-2x^2*y^2/(x^2+y^2)^2=(y^2 -x^2)y^2/(x^2+y^2)^2 lim(y→0) fx=0 y=0の時 f(x,y)=0 fx=0 >(0,0)での偏微分はどうしたらいいのでしょうか? xについての偏微分fx(0,0)なら f(x,y)でy=0としてxについて偏微分すれば良い f(x,0)=0 fx(x,0)=∂f(x,0)/∂x=0 fx(0,0)=0 もし、yについての偏微分fy(0,0)なら f(x,y)でx=0としてyについて偏微分すればよい。  f(0,y)=0 fy(0,y)=∂f(0,y)/∂y=0 fy(0,0)=0

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