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偏微分の問題です。

偏微分の問題です。 D = {(x,y)∈R^2 | x>0, y>0} x*[∂f/∂x] - y*[∂f/∂y] = 0 ならば、 f(x,y)は1変数の関数g(t)によって、f(x,y)=g(xy)とあらわされることを示せ。

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df/du=(∂f/∂x)(dx/du)+(∂f/∂y)(dy/du) だから x*[∂f/∂x] - y*[∂f/∂y] = 0 の解は dx/du=x dy/du=-y df/du=0 の解となるから logx=u+c1 logy=-u+c2 log(xy)=logx+logy=c1+c2=c xy=e^c=t x=(√t)e^u y=(√t)e^{-u} f(x,y)=f((√t)e^u,(√t)e^{-u}) df/du=0だからuが変化しても f(te^u,te^{-u})は変化しない1変数tだけの関数となり g(t)=f((√t)e^u,(√t)e^{-u}) とすれば f(x,y)=f((√t)e^u,(√t)e^{-u})=g(t)=g(xy)

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