全微分の問題が解けなくて困っています

質問

全微分の問題です。解けなくて困っています。
f(x,y)=|xy|について次を証明せよ
（１）ｘｙが０でないとき、fx(0,y),fy(x,0)はいずれも存在しない。
（２）点(0,0)での偏微分係数はいずれも存在し、f(x,y)は(0,0)で全微分可能である。

よろしくお願いしますｍ（－－）ｍ

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

何も、いけないことはありませんよ。
A No.3 の計算が気に入らないのであれば、
h = r cosθ, k = r sinθ と置いて
r → 0 の極限を考えても、よいでしょう。
結果は同じです。
ただ、No.3 補足のような x の使い回しは、
(間違いではないが)あまりイタダケません。

お礼

丁寧な解説ありがとうございます。ｘとｙの（０，０）への近づけ方はあらゆる場合を考えなければいけないんですよね。その辺の考え方がいまいちわからないんですよ。もし、できたらアドバイスいただけますか？

回答No.6

alice_44

貴方のやり方で、θ を r の任意の関数としても、
r → 0 で ｜hk｜/r → 0 となれば、
｜hk｜ = o(r) だということです。
θ は、任意の定数ではなく、任意の関数
という条件です。
そこが間違いやすい点なので、要注意。

お礼

いろいろと答えていただきありがとうございました。感謝しております。

回答No.4

Ae610

ANo.2です。
大変失礼致しました。
確かにo(ρ)　(ρ=√(h^2+k^2))になりました。
当方の単純計算ミスでした。

スミマセンでした。

回答No.3

alice_44

｜hk｜ / √(h^2+k^2)
= √{ |hk|^2 / (h^2+k^2) }
= 1 / √{ (h^2+k^2) / (h^2 k^2) }
= 1 / √{ (1/h^2) + (1/k^2) }

では、どうでしょう。

お礼

丁寧にありがとうございます。因みに、h=rcosx ,k=rsinxとおいて証明するのではいけないのでしょうか？

補足

丁寧にありがとうございます。因みに、h=rcosx ,k=rsinxとおいて証明するのではいけないのでしょうか？

回答No.2

Ae610

(2)・・・どうして(0,0)でf(x,y)=|xy|が全微分可能になるの・・・？？？

回答No.1

alice_44

(1)
f(x,y) = ｜x｜・｜y｜ ですから、
要は、｜z｜ が z = 0 で微分可能か？
というだけの話です。高校で習いましたね。

(2)
f(0+h,0+k) - f(0,0) = ｜hk｜ です。
lim[(h,k)→(0,0)] ｜hk｜/√(hh+kk) = 0 なので、
f(0+h,0+k) - f(0,0) = 0・h + 0・k + o( √(hh+kk) ) と書けます。
これが、全微分の定義でしたね。

補足

回答ありがとうございます。すみません、勉強不足なもので
lim[(h,k)→(0,0)] ｜hk｜/√(hh+kk) = 0
の理由がわかりません。教えていただけたらありがたいです。