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偏微分について。
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- info22
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fxy(0,0)とfyx(0,0)は (x,y)≠(0,0)の時は fxy(x,y)=fyx(x,y) =-(2*y^6+15*x^2*y^4-12*x^4*y^2-x^6)/(y^2+x^2)^3 …(■) =g(x,y)とおく。 g(x,y)はx=y=0では0/0型になります。 この式でx→0(y≠0)としてみるとg(0,y)=fxy(0,y)=fyx(0,y)=-2 g(x,y)=fxy(x,y)=fyx(x,y)→-2 また この式でy→0(x≠0)としてみるとg(x,0)=fxy(x,0)=fyx(x,0)=1 g(x,y)=fxy(x,y)=fyx(x,y)→1 このように、fxy(x,y)=fyx(x,y)は(x,y)=(0,0)では定義されない（0/0型）けれども、 y≠0のもとでx→0とした場合のfxy(x,y)=fyx(x,y)の値-2が存在し その後、y→0としても、fxy(x,y)=fyx(x,y)の値は同じ-2となる。 y≠0のもとでx→0とした場合のfxy(x,y)=fyx(x,y)の値1が存在し その後、x→0としても、fxy(x,y)=fyx(x,y)の値は同じ1となる。 この事は(x,y)→(0,0)への近づけ方により fxy(x,y)=fyx(x,y)の値が異なるわけです。 fxy(x,y)やfyx(x,y)が(x,y)=(0,0)で未定義の場合や方向微係数が異なる場合（(x,y)の(0,0)への接近のさせ方で値が異なる場合）は極限(lim) を使って取り扱わないといけませんね。 (■)のg(x,y)の(x,y)=(0,0)付近のz=g(x,y)の曲面をプロットしてしてみてください。（参考URLのフリーソフト3D-GRAPES 1.41Aで曲面がプロットできます。）なぜfxy(0,0)がなぜlimをとらないといけないかよく分かるでしょう。 (x,y)=(0,0)におけるg(x,y)の収束値は(0,0)への近づけ方により 1,-2,(-1±3√2)/2などの値をとったりします。
- jamf0421
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fxとfyについて目をつぶって機械的に公式を当てはめて出した式と、x=0, y=0における偏微分の定義どおりの手順で計算（{f(δx,y)-f(0,y)}/δxでδx→0, {f(x,δy)-f(x,0)}/δyでδy→0などなど）した場合の結果を比較されたら、わかりませんか？
- kabaokaba
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なぜ「公式がつかえる」と思うのでしょうか？ 公式はいつでもどこでも使えるわけではありません． 前提条件を理解しましょう．
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お礼
回答ありがとうございます。 とても分かりやすかったです。