高次(階)偏導関数の問題について

質問

高次(階)偏導関数の問題をどうにか解いてみたのですが、
あっているか自信がありません。特に(6)の問題。
わかる方、ご指導よろしくお願いします。

【問題】
次の関数f(x,y)の2次までの変動関数を求めよ。

(1) x^2+3xy+y^2+2

fx(x,y)=2x+3y
fy(x,y)=3x+2y
fxx(x,y)=2
fxy(x,y)=3
fyx(x,y)=3
fyy(x,y)=2

(2) log(x^2+y^2+1)

d/dt log(t)=1/t
δ/δx x^2+y^2+1=2x
δ/δy x^2+y^2+1=2y
合成関数の微分の公式を適用し、

fx(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2x=2x/(x^2+y^2+1)
fy(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2y=2y/(x^2+y^2+1)

商の微分の公式を適用し
fxx(x,y)={(2*(x^2+y^2+1)-2x(2x)}/(x^2+y^2+1)^2=-2(x^2-y^2-1)/(x^2+y^2+1)^2
同様に計算し、
fxy(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2
fyx(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2
fyy(x,y)=2(x^2-y^2+1)/(x^2+y^2+1)^2

(3) e^(xy)

d/dt log(t)=e^t
δ/δx xy=y
δ/δy xy=x

合成関数の微分の公式を適用し、
fx(x,y)=e^(xy)*y=y e^(xy)
fy(x,y)=e^(xy)*x=x e^(xy)
fxx(x,y)=y e^(xy)*y=y^2 e^(xy)
fxy(x,y)=y e^(xy)*x=xy e^(xy)
fyx(x,y)=x e^(xy)*y=xy e^(xy)
fyy(x,y)=x e^(xy)*x=y^2 e^(xy)

(4) e^(2x+3y)

d/dt log(t)=e^t
δ/δx 2x+3y=2
δ/δy 2x+3y=3

合成関数の微分の公式を適用し、
fx(x,y)=e^(2x+3y)*2=2 e^(xy)
fy(x,y)=e^(2x+3y)*3=3 e^(xy)
fxx(x,y)=2 e^(2x+3y)*2=4 e^(xy)
fxy(x,y)=2 e^(2x+3y)*3=6 e^(xy)
fyx(x,y)=3 e^(2x+3y)*2=6 e^(xy)
fyy(x,y)=3 e^(2x+3y)*3=9 e^(xy)

(5) x^2+3xy+4y^2+1

fx(x,y)=2x+3y
fy(x,y)=3x+8y
fxx(x,y)=2
fxy(x,y)=3
fyx(x,y)=3
fyy(x,y)=8

(6) xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0))
{
0 ((x,y)=(0,0))

fx(0,0)={f(x,0)-f(0,0)}/x=0/x=0
同様に
fy(0,0)={f(0,y)-f(0,0)}/y=0/y=0

(x,y)≠0のとき、商の微分の公式を適用して
fx(x,y)=y(x^4+4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2
fy(x,y)=x(x^4-4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2

再度、商の微分の公式を適用して
fxx(x,y)=-4xy^3(x^2-3y^2)/(x^2+y^2)^3
fxy(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3
fyx(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3
fyy(x,y)=-4xy(2x^4+x^2+y^4)/(x^2+y^2)^3

疑問点1
fxx(0,0),fxy(0,0),fyx(0,0),fyy(0,0)についても、
求めなくてもいいのでしょうか？

疑問点2
商の微分を2回行うことにより、計算結果を導いたのですが、
もっと簡単な手順で導く公式等はないのでしょうか？

たびたびの質問で申し訳ありませんが、
ご指導のほどよろしくお願いします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
A#2の補足の質問の回答
>(3) e^(xy)
>fxy(x,y)、fyx(x,y)は×
>合成関数の微分の公式を適用する前に、
>積の微分を適用すればいいのでしょうか？
fx,fyに積の微分、そして合成関数の微分を併用します。

fx(x,y)={e^(xy)}*∂(xy)/∂x=ye^(xy)
fy(x,y)={e^(xy)}*∂(xy)/∂y=xe^(xy)
fxy(x,y)=∂y/∂y*e^(xy)+yfy(x,y)=(1+xy)e^(xy)
fyx(x,y)=∂x/∂x*e^(xy)+xfx(x,y)=(1+xy)e^(xy)

A#2の補足
>>(6)f(x,y) xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0))
>> 　f(x,y)=0 ((x,y)=(0,0))
>>疑問点1
>>fxx(0,0),fxy(0,0),fyx(0,0),fyy(0,0)についても、
>>求めなくてもいいのでしょうか？
>x=y=0では未定義なので求める必要はないでしょう。
>(x,y)→(0,0)の極限値が存在する場合に限り、
>(x,y)＝(0,0)における値が連続になるように定義することは
>可能ですが。。。

これは(x,y)≠(0,0)での偏導関数は求める必要はないです。
つまり(x,y)＝(0,0)では偏導関数は未定義とすることになります。

しかし、定義するためには
(x,y)→(0,0)における偏導関数の極限値が存在し、
(x,y)=(0,0)の偏導関数の値をその極限値に定義すれば
(x,y)=(0,0)での偏導関数も定義しても問題ありません。
各偏導関数について
(x,y)≠(0,0)のときの(x,y)→(0,0)の極限値
>fx(x,y)=y(x^4+4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2
→0((x,y)→(0,0))なのでfx(0,0)=0と定義すれば
すべての(x,y)でfx(x,y)を定義できる。
>fy(x,y)=x(x^4-4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2
→0((x,y)→(0,0))なのでfy(0,0)=0と定義すれば
すべての(x,y)でfy(x,y)を定義できる。
>fxx(x,y)=-4xy^3(x^2-3y^2)/(x^2+y^2)^3
→存在しない((x,y)→(0,0))。fxx(0,0)は定義できない。
fxy(x,y)=fyx(x,y)=(x^2-y^2)(x^4+y^4+10x^2y^2)/(x^2+y^2)^3
→存在しない((x,y)→(0,0))。fxy(0,0)は定義できない。
fyy(x,y)=-4xy(2x^4+x^2+y^4)/(x^2+y^2)^3
→存在しない((x,y)→(0,0))。fyy(0,0)は定義できない。

お礼

info22様、いつも的確なご指導ありがとうございます。
忙しい年の瀬にも関わらず、ご回答いただき大変感謝しております。

教科書では、なかなか理解できなかった問題も
info22様をはじめとして、こちらの皆様のご指導のおかげで、
どうにか理解・習得することができたと思っています。

来年もご指導をお願いすると思いますが、
懲りずに宜しくお願いします。
では、よいお年を！

回答No.2

info22

> 変動関数を求めよ。
偏導関数

>(1) x^2+3xy+y^2+2
すべて○
>(2) log(x^2+y^2+1)
すべて○

>(3) e^(xy)
fxy(x,y)、fyx(x,y)は×
それ以外は○

>(4) e^(2x+3y)
e^(xy)→e^(2x+3y)
と直せば全部○

>(5) x^2+3xy+4y^2+1
すべて○

>(6) xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0))
>　　0 ((x,y)=(0,0))

>(x,y)≠0のとき
fx(x,y)=○
fy(x,y)=○
fxx(x,y)○
fxy(x,y)とfyx(x,y)△（分子は因数分解できる）
fyy(x,y)×

>疑問点1
>fxx(0,0),fxy(0,0),fyx(0,0),fyy(0,0)についても、
>求めなくてもいいのでしょうか？
x=y=0では未定義なので求める必要はないでしょう。
(x,y)→(0,0)の極限値が存在する場合に限り、
(x,y)＝(0,0)における値が連続になるように定義することは
可能ですが。。。

>疑問点2
>商の微分を2回行うことにより、計算結果を導いたのですが、
>もっと簡単な手順で導く公式等はないのでしょうか？
公式はありません。地道に計算してください。

お礼

いつもご指導いただき、ありがとうございます。
おかげで、疑問点もすっきりしました。
大変お世話になりました。

補足

たびたびの質問ですいません。
3) e^(xy)のfxy(x,y)とfyx(x,y)の指数の微分の仕方が
よくわかりませんでしたので、
できれば、途中の計算式もご指南いただけないでしょうか？

fxy(x,y)とfyx(x,y)は、おそらく同じ値になると思うのですが、
fx(x,y)=y*e^(xy)なので、fxy(x,y)はこれをyについて再度微分
すればいいと思うのですが、この場合は
合成関数の微分の公式を適用する前に、
積の微分を適用すればいいのでしょうか？

以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

回答No.1

owata-www

書き間違いだと思いますが、
（４）e^(xy)→e^(2x+3y)

お礼

早速のご指摘ありがとうございます。
おっしゃるように、書き間違いでした。
(4)の解答は↓です。
fx(x,y)=e^(2x+3y)*2=2 e^(2x+3y)
fy(x,y)=e^(2x+3y)*3=3 e^(2x+3y)
fxx(x,y)=2 e^(2x+3y)*2=4 e^(2x+3y)
fxy(x,y)=2 e^(2x+3y)*3=6 e^(2x+3y)
fyx(x,y)=3 e^(2x+3y)*2=6 e^(2x+3y)
fyy(x,y)=3 e^(2x+3y)*3=9 e^(2x+3y)

大変失礼いたしました。