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高次(階)偏導関数の問題について

高次(階)偏導関数の問題をどうにか解いてみたのですが、 あっているか自信がありません。特に(6)の問題。 わかる方、ご指導よろしくお願いします。 【問題】 次の関数f(x,y)の2次までの変動関数を求めよ。 (1) x^2+3xy+y^2+2 fx(x,y)=2x+3y fy(x,y)=3x+2y fxx(x,y)=2 fxy(x,y)=3 fyx(x,y)=3 fyy(x,y)=2 (2) log(x^2+y^2+1) d/dt log(t)=1/t δ/δx x^2+y^2+1=2x δ/δy x^2+y^2+1=2y 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2x=2x/(x^2+y^2+1) fy(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2y=2y/(x^2+y^2+1) 商の微分の公式を適用し fxx(x,y)={(2*(x^2+y^2+1)-2x(2x)}/(x^2+y^2+1)^2=-2(x^2-y^2-1)/(x^2+y^2+1)^2 同様に計算し、 fxy(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2 fyx(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2 fyy(x,y)=2(x^2-y^2+1)/(x^2+y^2+1)^2 (3) e^(xy) d/dt log(t)=e^t δ/δx xy=y δ/δy xy=x 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=e^(xy)*y=y e^(xy) fy(x,y)=e^(xy)*x=x e^(xy) fxx(x,y)=y e^(xy)*y=y^2 e^(xy) fxy(x,y)=y e^(xy)*x=xy e^(xy) fyx(x,y)=x e^(xy)*y=xy e^(xy) fyy(x,y)=x e^(xy)*x=y^2 e^(xy) (4) e^(2x+3y) d/dt log(t)=e^t δ/δx 2x+3y=2 δ/δy 2x+3y=3 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=e^(2x+3y)*2=2 e^(xy) fy(x,y)=e^(2x+3y)*3=3 e^(xy) fxx(x,y)=2 e^(2x+3y)*2=4 e^(xy) fxy(x,y)=2 e^(2x+3y)*3=6 e^(xy) fyx(x,y)=3 e^(2x+3y)*2=6 e^(xy) fyy(x,y)=3 e^(2x+3y)*3=9 e^(xy) (5) x^2+3xy+4y^2+1 fx(x,y)=2x+3y fy(x,y)=3x+8y fxx(x,y)=2 fxy(x,y)=3 fyx(x,y)=3 fyy(x,y)=8 (6) xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0)) { 0 ((x,y)=(0,0)) fx(0,0)={f(x,0)-f(0,0)}/x=0/x=0 同様に fy(0,0)={f(0,y)-f(0,0)}/y=0/y=0 (x,y)≠0のとき、商の微分の公式を適用して fx(x,y)=y(x^4+4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2 fy(x,y)=x(x^4-4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2 再度、商の微分の公式を適用して fxx(x,y)=-4xy^3(x^2-3y^2)/(x^2+y^2)^3 fxy(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3 fyx(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3 fyy(x,y)=-4xy(2x^4+x^2+y^4)/(x^2+y^2)^3 疑問点1 fxx(0,0),fxy(0,0),fyx(0,0),fyy(0,0)についても、 求めなくてもいいのでしょうか? 疑問点2 商の微分を2回行うことにより、計算結果を導いたのですが、 もっと簡単な手順で導く公式等はないのでしょうか? たびたびの質問で申し訳ありませんが、 ご指導のほどよろしくお願いします。

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  • info22
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#2です。 A#2の補足の質問の回答 >(3) e^(xy) >fxy(x,y)、fyx(x,y)は× >合成関数の微分の公式を適用する前に、 >積の微分を適用すればいいのでしょうか? fx,fyに積の微分、そして合成関数の微分を併用します。 fx(x,y)={e^(xy)}*∂(xy)/∂x=ye^(xy) fy(x,y)={e^(xy)}*∂(xy)/∂y=xe^(xy) fxy(x,y)=∂y/∂y*e^(xy)+yfy(x,y)=(1+xy)e^(xy) fyx(x,y)=∂x/∂x*e^(xy)+xfx(x,y)=(1+xy)e^(xy) A#2の補足 >>(6)f(x,y) xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0)) >>  f(x,y)=0 ((x,y)=(0,0)) >>疑問点1 >>fxx(0,0),fxy(0,0),fyx(0,0),fyy(0,0)についても、 >>求めなくてもいいのでしょうか? >x=y=0では未定義なので求める必要はないでしょう。 >(x,y)→(0,0)の極限値が存在する場合に限り、 >(x,y)=(0,0)における値が連続になるように定義することは >可能ですが。。。 これは(x,y)≠(0,0)での偏導関数は求める必要はないです。 つまり(x,y)=(0,0)では偏導関数は未定義とすることになります。 しかし、定義するためには (x,y)→(0,0)における偏導関数の極限値が存在し、 (x,y)=(0,0)の偏導関数の値をその極限値に定義すれば (x,y)=(0,0)での偏導関数も定義しても問題ありません。 各偏導関数について (x,y)≠(0,0)のときの(x,y)→(0,0)の極限値 >fx(x,y)=y(x^4+4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2 →0((x,y)→(0,0))なのでfx(0,0)=0と定義すれば すべての(x,y)でfx(x,y)を定義できる。 >fy(x,y)=x(x^4-4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2 →0((x,y)→(0,0))なのでfy(0,0)=0と定義すれば すべての(x,y)でfy(x,y)を定義できる。 >fxx(x,y)=-4xy^3(x^2-3y^2)/(x^2+y^2)^3 →存在しない((x,y)→(0,0))。fxx(0,0)は定義できない。 fxy(x,y)=fyx(x,y)=(x^2-y^2)(x^4+y^4+10x^2y^2)/(x^2+y^2)^3 →存在しない((x,y)→(0,0))。fxy(0,0)は定義できない。 fyy(x,y)=-4xy(2x^4+x^2+y^4)/(x^2+y^2)^3 →存在しない((x,y)→(0,0))。fyy(0,0)は定義できない。

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質問者からのお礼

info22様、いつも的確なご指導ありがとうございます。 忙しい年の瀬にも関わらず、ご回答いただき大変感謝しております。 教科書では、なかなか理解できなかった問題も info22様をはじめとして、こちらの皆様のご指導のおかげで、 どうにか理解・習得することができたと思っています。 来年もご指導をお願いすると思いますが、 懲りずに宜しくお願いします。 では、よいお年を!

その他の回答 (2)

  • 回答No.2
  • info22
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> 変動関数を求めよ。 偏導関数 >(1) x^2+3xy+y^2+2 すべて○ >(2) log(x^2+y^2+1) すべて○ >(3) e^(xy) fxy(x,y)、fyx(x,y)は× それ以外は○ >(4) e^(2x+3y) e^(xy)→e^(2x+3y) と直せば全部○ >(5) x^2+3xy+4y^2+1 すべて○ >(6) xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0)) >  0 ((x,y)=(0,0)) >(x,y)≠0のとき fx(x,y)=○ fy(x,y)=○ fxx(x,y)○ fxy(x,y)とfyx(x,y)△(分子は因数分解できる) fyy(x,y)× >疑問点1 >fxx(0,0),fxy(0,0),fyx(0,0),fyy(0,0)についても、 >求めなくてもいいのでしょうか? x=y=0では未定義なので求める必要はないでしょう。 (x,y)→(0,0)の極限値が存在する場合に限り、 (x,y)=(0,0)における値が連続になるように定義することは 可能ですが。。。 >疑問点2 >商の微分を2回行うことにより、計算結果を導いたのですが、 >もっと簡単な手順で導く公式等はないのでしょうか? 公式はありません。地道に計算してください。

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質問者からのお礼

いつもご指導いただき、ありがとうございます。 おかげで、疑問点もすっきりしました。 大変お世話になりました。

質問者からの補足

たびたびの質問ですいません。 3) e^(xy)のfxy(x,y)とfyx(x,y)の指数の微分の仕方が よくわかりませんでしたので、 できれば、途中の計算式もご指南いただけないでしょうか? fxy(x,y)とfyx(x,y)は、おそらく同じ値になると思うのですが、 fx(x,y)=y*e^(xy)なので、fxy(x,y)はこれをyについて再度微分 すればいいと思うのですが、この場合は 合成関数の微分の公式を適用する前に、 積の微分を適用すればいいのでしょうか? 以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

  • 回答No.1

書き間違いだと思いますが、 (4)e^(xy)→e^(2x+3y)

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質問者からのお礼

早速のご指摘ありがとうございます。 おっしゃるように、書き間違いでした。 (4)の解答は↓です。 fx(x,y)=e^(2x+3y)*2=2 e^(2x+3y) fy(x,y)=e^(2x+3y)*3=3 e^(2x+3y) fxx(x,y)=2 e^(2x+3y)*2=4 e^(2x+3y) fxy(x,y)=2 e^(2x+3y)*3=6 e^(2x+3y) fyx(x,y)=3 e^(2x+3y)*2=6 e^(2x+3y) fyy(x,y)=3 e^(2x+3y)*3=9 e^(2x+3y) 大変失礼いたしました。

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