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偏微分の極値が。。八十八カ所めぐりします。。

関数 (x^2+y^2-1)^2 の極値を求めたいんですが。。 偏微分D=fxx^2 -fxy*fyx を計算すると、 x^2+y^2=1 となって 円!?ΣΣ 極値がしぼりこめません。。 日本語がへたでうまく伝わらなかったらごめんなさい。。 どうかおねがいします

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>D=fxx^2 -fxy*fyx この判別式、間違っていませんか? D=fxx*fyy -fxy*fyx=15(x^2+y^2-1)(3x^2+3y^2-1)≧0 は x^2+y^2=1 を満たすすべての(x,y)で D=0になる。この時、fx=fy=0となる。 D=0の場合は個別に扱わないといけないですね。 x^2+y^2=1でf(x,y)=0となって丁度、谷の底の曲線となっていますので 極値の定義 http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node89.html から x^2+y^2=1 を満たすすべての点(x,y)は定義を満たさず、極値(今の場合は極小値)とはいえません。 他にfx=fy=0とする点(0,0)がありますが 参考URLの定理6.7によれば、この点で D=△>0,A<0 を満たすので関数(f(x,y)は(0,0)で極大値を取りますね。

参考URL:
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calcmulti/node89.html

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質問者からのお礼

与式のグラフがいままで想像できなかったんですが、 そうゆうことだったんですね!! 確かに! 定理を思い返せば、円では、定義を完全に満たしませんね! 高校生レベルです苦笑 判別式…ΣΣ わたしのタイプミスです苦笑 紙の上の計算ではちゃんとできていますたぶん; グラフつきで細かく、大変助かりました ありがとうございます!

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その他の回答 (4)

  • 回答No.5

狭義の極大は(0,0)で問題ないとおもいます。 あと候補としてはx^2+y^2-1=0と(0,±1)(±1,0)ですが後者の2つは前者に含まれます。今回はこれが極値であることは次のように自明です。 すなわち f=(x^2+y^2-1)^2 ≧ 0 で x^2+y^2-1=0 のときは f=0 だからです。

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質問者からのお礼

この与式でグラフを思い描けられたら このように考えられますね! 頭の中はカチコチなので、グラフが考えられなくて…汗 ありがとうございます!

  • 回答No.3
noname#103103
noname#103103

なんだか僕の言ってることがおかしいみたいなんで、スルーしてください。

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質問者からのお礼

いえ! ありがとうございます! 問題をこなしていないので もうちょっと勉強してからまた読んでみます;

  • 回答No.2
noname#103103
noname#103103

とりあえず∂f/∂x=4x(x^2+y^2-1) でヘッシアンがx^2+y^2-1 になるか。 ヘッシアン=0だったらこの方法では判定できないし、等号で結ぶのは違うのでは?

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  • 回答No.1

「八十八カ所」とは、円だからという意味でしょうか?(笑) きちんと解けていると思います。 円周上の点が極値を与えています。 ただし、他にも極値を与える「点」が存在します。 極大・極小の判別が必要ですね。 グラフの概形をイメージした方がわかりやすいですね。 もとの関数は対称な式ですので、グラフも対称なものになるはずです。

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質問者からのお礼

円だから、こんがらがったんです(笑) イメージすることも大切なんですね これからも参考にします! ありがとうございます!!

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