- ベストアンサー
２次偏導関数の連続について
予習していたとき 関数F(x,y)の2次偏導関数Fxy(x,y), Fyx(x,y)が連続ならば, Fxy(x,y)=Fyx(x,y)であることを示してください。 という問題で詰まりました ご教授お願いします
- colocolocololon
- お礼率79% (87/109)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数7
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
Fxy(a,b)≠Fyx(a,b)を仮定すると |Fxy(a,b)-Fyx(a,b)|>0だから 0<ε<|Fxy(a,b)-Fyx(a,b)|となる εがある lim_{h→0,k→0}Fxy(a+h,b+k)=Fxy(a,b) lim_{h→0,k→0}Fyx(a+h,b+k)=Fyx(a,b) だから このεに対して →δ>0が存在して h^2+k^2<δ^2となる任意のh,kに対して →|Fxy(a+h,b+k)-Fxy(a,b)|<ε/2 ,|Fyx(a+h,b+k)-Fyx(a,b)|<ε/2 となる 0<h^2+k^2<δ^2 Δ=F(a+h,b+k)-F(a+h,b)-F(a,b+k)+F(a,b)とする 平均値の定理から0<θ<1 Δ=h{Fx(a+θh,b+k)-Fx(a+θh,b)} となるθがある 平均値の定理から0<θ'<1 h{Fx(a+θh,b+k)-Fx(a+θh,b)}=hk{Fxy(a+θh,b+θ'k)} となるθ'がある Δ/(hk)=Fxy(a+θh,b+θ'k) 平均値の定理から0<θy<1 Δ=k{Fy(a+h,b+(θy)k)-Fy(a,b+(θy)k)} となるθyがある 平均値の定理から0<θx<1 k{Fy(a+h,b+(θy)k)-Fy(a,b+(θy)k)}=hk{Fyx(a+(θx)h,b+(θy)k)} となるθxがある Δ/(hk)=Fyx(a+(θx)h,b+(θy)k) (θh)^2+(θ'k)^2<h^2+k^2<δ^2 だから |Δ/(hk)-Fxy(a,b)|=|Fxy(a+θh,b+θ'k)-Fxy(a,b)|<ε/2 ((θx)h)^2+((θy)k)^2<h^2+k^2<δ^2 だから |Δ/(hk)-Fyx(a,b)|=|Fyx(a+(θx)h,b+(θy)k)-Fyx(a,b)|<ε/2 |Fxy(a,b)-Fyx(a,b)| ≦|Fxy(a,b)-Δ/(hk)|+|Δ/(hk)-Fyx(a,b)| =|Fxy(a,b)-Fxy(a+θh,b+θ'k)|+|Fyx(a+(θx)h,b+(θy)k)-Fyx(a,b)| <ε<|Fxy(a,b)-Fyx(a,b)| となって矛盾するから ∴ Fxy(a,b)=Fyx(a,b)
関連するQ&A
- 関数の連続性と偏導関数
次の関数について、 f(x,y)=log|x/y| (1)関数f(x,y)の連続性を調べよ。 (2)偏導関数f_x(x,y)およびf_y(x,y)を求めよ。 (3)偏導関数f_x(x,y)およびf_y(x,y)の連続性を調べよ。 という問題なのですが、どう示したらいいか分かりません。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 偏微分の順序交換が無条件にできない関数
f(x,y)= xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0)の時) 0 ((x,y)=(0,0)の時) について、fxy(x,y)=fyx(x,y)が無条件には成立しないことを示せ。 という問題なのですが、答案のイメージが曖昧になっていて困っています。 具体的にどういう答案を書けばよいのか教えてください！ 因みに fxy(x,y)=fyx(x,y)の成立条件が fxy(x,y)とfyx(x,y)が共に存在しかつ連続 であることは知っています。 またfxy(x,y)とfyx(x,y)を直接求めたところ、ともに(x,y)=(0,0)で不連続であることは示せました。 無いとは思いますが、第二次偏導関数を求めずに証明できる少しでも簡単な方法があればそれも併せて教えていただけるとあありがたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 偏導関数が分かりません
次の関数の偏導関数fx・fyを求めなさい。 （1）ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＾3ｙ+ｙ＾2 （2）ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘsin(xy) (3)ｆ（ｘ、ｙ）＝x^2e-y^2 私自身偏導関数をまったく理解してないので解き方も含めてご教授頂けるとありがたいです。 宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 高次(階)偏導関数の問題について
高次(階)偏導関数の問題をどうにか解いてみたのですが、 あっているか自信がありません。特に(6)の問題。 わかる方、ご指導よろしくお願いします。 【問題】 次の関数f(x,y)の2次までの変動関数を求めよ。 (1) x^2+3xy+y^2+2 fx(x,y)=2x+3y fy(x,y)=3x+2y fxx(x,y)=2 fxy(x,y)=3 fyx(x,y)=3 fyy(x,y)=2 (2) log(x^2+y^2+1) d/dt log(t)=1/t δ/δx x^2+y^2+1=2x δ/δy x^2+y^2+1=2y 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2x=2x/(x^2+y^2+1) fy(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2y=2y/(x^2+y^2+1) 商の微分の公式を適用し fxx(x,y)={(2*(x^2+y^2+1)-2x(2x)}/(x^2+y^2+1)^2=-2(x^2-y^2-1)/(x^2+y^2+1)^2 同様に計算し、 fxy(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2 fyx(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2 fyy(x,y)=2(x^2-y^2+1)/(x^2+y^2+1)^2 (3) e^(xy) d/dt log(t)=e^t δ/δx xy=y δ/δy xy=x 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=e^(xy)*y=y e^(xy) fy(x,y)=e^(xy)*x=x e^(xy) fxx(x,y)=y e^(xy)*y=y^2 e^(xy) fxy(x,y)=y e^(xy)*x=xy e^(xy) fyx(x,y)=x e^(xy)*y=xy e^(xy) fyy(x,y)=x e^(xy)*x=y^2 e^(xy) (4) e^(2x+3y) d/dt log(t)=e^t δ/δx 2x+3y=2 δ/δy 2x+3y=3 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=e^(2x+3y)*2=2 e^(xy) fy(x,y)=e^(2x+3y)*3=3 e^(xy) fxx(x,y)=2 e^(2x+3y)*2=4 e^(xy) fxy(x,y)=2 e^(2x+3y)*3=6 e^(xy) fyx(x,y)=3 e^(2x+3y)*2=6 e^(xy) fyy(x,y)=3 e^(2x+3y)*3=9 e^(xy) (5) x^2+3xy+4y^2+1 fx(x,y)=2x+3y fy(x,y)=3x+8y fxx(x,y)=2 fxy(x,y)=3 fyx(x,y)=3 fyy(x,y)=8 (6) xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0)) { 0 ((x,y)=(0,0)) fx(0,0)={f(x,0)-f(0,0)}/x=0/x=0 同様に fy(0,0)={f(0,y)-f(0,0)}/y=0/y=0 (x,y)≠0のとき、商の微分の公式を適用して fx(x,y)=y(x^4+4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2 fy(x,y)=x(x^4-4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2 再度、商の微分の公式を適用して fxx(x,y)=-4xy^3(x^2-3y^2)/(x^2+y^2)^3 fxy(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3 fyx(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3 fyy(x,y)=-4xy(2x^4+x^2+y^4)/(x^2+y^2)^3 疑問点1 fxx(0,0),fxy(0,0),fyx(0,0),fyy(0,0)についても、 求めなくてもいいのでしょうか？ 疑問点2 商の微分を2回行うことにより、計算結果を導いたのですが、 もっと簡単な手順で導く公式等はないのでしょうか？ たびたびの質問で申し訳ありませんが、 ご指導のほどよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2変数関数について・・・？
2変数関数のz = f(x,y) = x^2 / (x^2 + y^2)の f(x,y),fx,fy,fxx,fxy,fyx,fyy、はどうなるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ２次偏導関数（経済数学）
この問題を教えてください。 1.次の関数のそれぞれについて、４つの２次偏導関数を求めよ。 (c) f(x,y)=2^xe^y (d) f(x,y)=7xln(1+y) 3.生産関数Q=f(K,L)=K^αL^βが与えられるものとする。 ただし、αとβは0と1との間の数である。 この場合、４つの２次偏導関数を求めてその符号を調べ、さらにその結果の経済的な意味を考えよ。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございました！！ わかりました！