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偏導関数について。

(1)f(x,y)=x'2y+xInxy (2)f(x,y)=-Inx'2y+ye'-2x  ちなみに'2は二乗、'-2xは-2x乗です。 この関数の1階偏導関数fx,fy、および交差偏導関数fxy、2階の偏導関数fxxをもとめよ。 という問題がよく分かりません。 解説も含めて説明して頂けるとうれしいです。 よろしくお願いします。

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  • R_Earl
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まず、『In』はもしかして『ln』ではないでしょうか? lnとは、底がeの対数のこと(自然対数)です。 それと(1)のx'2yは『(xの2乗)×y』でしょうか?そうだという前提で話を進めます。 > 1階偏導関数fx,fy fxはf(x,y)をxで1回微分したもの、fyはf(x,y)をyで1回微分したものと考えてください。 f(x,y) = x'2 + 3xy + y'3だとしたら('2は2乗、'3は3乗とします。) fx = 2x + 3y fy = 3x + 3y'2 fxを計算する際に、yは定数と考えます。 x'2をxで微分すれば2xです。その次に3xyをxで微分することを考えます。 3axをxで微分すると3aですよね?同じ理由で3xyをxで微分すると3yになります。 次にy'3の微分ですが、xの無い単なる数を微分すると0になりますよね? 例えば3を微分すれば0ですし、-9を微分しても0です。同様の理由で、定数y^3もxで微分すると0です。 fyはyで微分するので、今度はxを定数と考えてyで微分して下さい。 x'2にはyが何もついていない定数ですからyで微分すると0です。 3xyはyで微分すると3x、y'3はyの3乗なのでyで微分すると3y'2です。 > および交差偏導関数fxy 交差偏導関数という表現は初めて見ましたが、fxyとなっているので、 fxを1回yで微分したものがfxyとなるはずです。 yで微分するので、xは定数と考えてください。 fx = 2x + 3yなら、 fxy = 3 です。 > 2階の偏導関数fxx fxをもう1回xで微分したものです。xで微分するのでyは定数と考えてください。 fx = 2x + 3yなら、 fxx = 2 です。 (1)のf(x,y) = x'2y + xlnxyでしたら、 fx = 2x + 1 + lnxy (x'2 → 2x 、 xlnxy → (1 + lnxy)) fy = x'2 + (x/y) (x'2y → x'2 、xlnxy → (x/y)) となるはずです。ただ、計算ミスがあるかもしれないので、 実際に計算してみて答えを出してください。

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  • 回答No.2
  • R_Earl
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ANo1ですが、下から5行目を訂正です。 (誤)fx = 2x + 1 + lnxy (x'2 → 2x 、 xlnxy → (1 + lnxy))  ↓ (正)fx = 2xy + 1 + lnxy (x'2 → 2xy 、 xlnxy → (1 + lnxy))

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