偏導関数の問題です

質問

以下の偏導関数の問題を解いてみましたが、
いまいち自信がありません。
すみませんが、あっているかどうかご指導お願いします。

【問題】
２変数関数f(x,y)=x-3 sin^(-1) yの偏導関数を求めよ。

【解答】
まず、yを定数とみなして、xで微分する。
=3x^3 sin^(-1) y
次に、xを定数とみなして、yで微分する。
=3x^2/sin y
=(0・sin y - 3x^2・(sin y)'
=(-3x^2・cos y)/sin^2 y

以上、よろしくお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
>２変数関数f(x,y)=x^3 sin^(-1) yの偏導関数を求めよ。
最初に「偏導関数」とは何かわかって見えますか？
それがわかっていないと何を計算しているのか、形だけ計算をしても
何を求めているのか見失いますよ。
以下のURLをよく読んでご確認下さい。
http://nkiso.u-tokai.ac.jp/math/matsuda/webmath/patdiff_txt/s3_2.htm
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node45.html
読まれた上で
質問の問題で
第一次偏導関数
fx(x,y)=∂f(x,y)/∂x,
fy(x,y)=∂f(x,y)/∂y
第2次偏導関数
fxx(x,y)=∂^2 f(x,y)/∂x^2,
fxy(x,y)=∂{∂f(x,y)/∂x}∂y,
fyx(x,y)=∂{∂f(x,y)/∂y}∂x,
fyy(x,y)=∂^2 f(x,y)/∂y^2,
第3次偏導関数
fxxx(x,y)=∂^3 f(x,y)/∂x^3,
…
第n次偏導関数
f_x^n(x,y)=∂^n f(x,y)/∂x^n,
…
と偏導関数が高次の偏導関数まであります。
求める偏導関数は第n次導関数（一般形）まで求める必要があるのか、
第一次導関数fx,fyだけ求めるのか、はっきりさせた方がいいでしょう。

回答者さんの補足解答は、何を求めているのか、見失って見えるようです。結果からみるとfx(x,y)を最初に求め、更にfxy(x,y)を求められているようです。
普通に「f(x,y)の偏導関数を求めよ。」
といった問題では第1次導関数fx(x,y)とfy(x,y)を求めます。
高次の偏導関数まで求める問題では
「f(x,y)の偏導関数を第2次偏導関数まで求めよ。」というような問題の書き方になるかと思います。

質問者さんの解答はfx(x,y)とfy(x,y)を求めないといけない所を
fxy(x,y)を求めてみえるようです。
その意味で解答は的外れで「×」にされるでしょう。
ちゃんと理解して、何を求めたら良いかを正確に把握してください。
そうすれば問題に対する的確な解答が作れるでしょう。

>まず、yを定数とみなして、xで微分する。
まず、fx(x,y)を求める為に、yを定数とみなして、xで微分する。
fx(x,y)
>=3x^2 sin^(-1) y
>=3x^2 arcsin y
fx(x,y)としては合っています。

これ以降は第2次導関数の１つであるfxy(x,y)の計算になります。
多分問題では求める必要のないことだと考えられます。
>次に、xを定数とみなして、yで微分する。
fxy(x,y)=∂fx(x,y)/∂y
>=3x^2・1/{√(1-y^2)}
>=3x^2/{√(1-y^2)}
>∴f(x,y)=3x^2/{√(1-y^2)}
∴fxy(x,y)=3(x^2)/{√(1-y^2)}
fxy(x,y)としては合っています。
でもこれを求める事は要求されていないかと思われます。
求める必要があるのはfx(x,y)とfy(x,y)ですから、fy(x,y)を
求めておかないといけませんね（確実に50%減点対象）。

fy(x,y)=∂f(x,y)/∂y
=∂{(x^3)arcsin(y)}/∂y
=(x^3)∂{arcsin(y)}/∂y
=(x^3){1/√(1-y^2)}
=(x^3)/√(1-y^2)

問題の解答はfx(x,y)とfy(x,y)の計算結果を書く必要があるでしょう。

お礼

いつも的確なご指導ありがとうございます。
ご指摘の通り、偏導関数の意味をよくわかっていませんでした。
丁寧な解説ありがとうございました。
教えていただいたurlを参考に勉強やりなおします。
ありがとうございました。

回答No.1

info22

> f(x,y)=x-3 sin^(-1) y
f(x,y)=(x^3)sin^(-1)(y)
の間違いでは？

>まず、yを定数とみなして、xで微分する。
>=3(x^3)sin^(-1)(y)
間違い。
fx(x,y)==3(x^2)sin^(-1)(y)

>次に、xを定数とみなして、yで微分する。
>=3x^2/sin y ←間違い。
sin^(-1)(y)はsin(y)の逆数ではなく、
逆関数のarcsin(y)のことです。
そうなら、以下の計算は間違い。
そうでなくても以下の計算は間違い。

>=(0・sin y - 3x^2・(sin y)'
>=(-3x^2・cos y)/sin^2 y

お礼

お返事遅くなりました。
表記ミスや計算ミスのご指摘、ありがとうございます。
ご指導をもとに、間違いをなおしてみます。
大変お世話になりました。

補足

ご指導ありがとうございます。
以下のように直してみました。これで合っているでしょうか？

【問題】
２変数関数f(x,y)=x^3 sin^(-1) yの偏導関数を求めよ。

まず、yを定数とみなして、xで微分する。
=3x^2 sin^(-1) y
=3x^2 arcsin y
次に、xを定数とみなして、yで微分する。
=3x^2・1/{√(1-y^2)}
=3x^2/{√(1-y^2)}
∴f(x,y)=3x^2/{√(1-y^2)}

これで合ってるかどうか、確認よろしくおねがいします。