偏導関数の変数変換の問題を教えて下さい。

質問

この問題が分からず困っています。
α∈Rは定数とし、関数z=f(x,y)と変数変換
x=s・cosαーt・sinα、y=s・sinα+t・cosαを考える。
∂^2z/∂x∂yの独立変数をs,tに変更しなさい
という問題です。
皆さん、どうかお願いいたします

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

s=x*cosα+y*sinα、t=x*(-sinα)+y*cosα ですから、
∂z/∂x=(∂f/∂s)*(∂s/∂x)+(∂f/∂t)*(∂t/∂x)=(∂f/∂s)*cosα+(∂f/∂t)*(-sinα),

∂^2z/(∂x∂y)=(∂/∂y){(∂f/∂s)*cosα}+(∂/∂y){(∂f/∂t)*(-sinα)}
={(∂^2f/∂s^2)*sinα+(∂^2f/(∂s∂t))*cosα}*cosα+{(∂^2f/(∂t∂s))*sinα+(∂^2f/∂t^2)*cosα}*(-sinα)
=(∂^2f/∂s^2)*sinα*cosα+(∂^2f/(∂s∂t))*(cos^2(α)-sin^2(α))+(∂^2f/∂t^2)*(-cosα*sinα).
------------------------------
※ またこの場合、
∂^2z/∂s^2+∂^2z/∂t^2=∂^2f/∂x^2+∂^2f/∂y^2.
も成り立ちます。

お礼

理解できました！
どうもありがとうございます

補足

すいません、答えていただいた文の1行目
s=x*cosα+y*sinα、t=x*(-sinα)+y*cosα
が分かりません。
問題文の
x=s・cosαーt・sinα、y=s・sinα+t・cosα
からどのように
s=x*cosα+y*sinα、t=x*(-sinα)+y*cosα
を出したのか教えていただけないでしょうか？

回答No.2

noname#232123

s, tに関する２元１次連立方程式です。