★★幾何学でお聞きしたい問題が二つあります。困ってます（；；）わわわ・

質問

★★幾何学でお聞きしたい問題が二つあります。困ってます（；；）わわわ・・・★★

以下の二つの問題がわからなくて困ってます。
この問題を解かないと卒業できません。。。。
お答えいただけたら嬉しいです。
というかお願いします。
慈悲でお願いします！

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三次元球面：S^3 を

S^3 ={ f(x,y,z,w) ∈ R^4 : x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = 1}

で定義する。S^3 からR への写像

f : S^3 → R

をf(x,y,z,w) = 2y + 1 で定義する。

このときf のランクを調べよ。

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整数p,q に対して、f : S^1 → R^2 を

f(cos t, sin t) = (cos pt, sin qt)

で定義する。

(a) f はうまく定義されていることを示せ。
(b) f が1 : 1 であるための必要十分条件を求めよ。
(c) f が1 : 1 であるとき、df : TS^1 → TR^2 は1 : 1 か？

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お願いします・・・。

回答No.1

muturajcp

1-y^2=x^2+z^2+w^2≧0
-1≦y≦1
-1≦f(x,y,z,w)=2y+1≦3
fは線形でないのでランクを定義できないが
g:R^4→R,g(x,y,z,w)=2y,gの
ランクは1

(a)
cost=cosu
sint=sinu
→
e^{it}=cost+isint=cosu+isinu=e^{iu}
→
cospt+isinpt=e^{ipt}=e^{ipu}=cospu+isinpu
→cospt=cospu
cosqt+isinqt=e^{iqt}=e^{iqu}=cosqu+isinqu
→sinqt=sinqu
∴f well-defined

(b)
p=1 & q=1 ←→ fは1:1
→
p=1 & q=1 のとき　f(cost,sint)=(cost,sint) だから　fは1:1
←
q=0のとき
t=π/2
u=-π/2
とすると
sin t=sin(π/2)≠sin(-π/2)=sin u
(cos t,sin t)≠(cos u,sin u)
f(cost,sint)=(cos(pπ/2),sin(0))=(cos(-pπ/2),sin(0))=f(cosu,sinu)
だから1:1でない
|q|>1 のとき
t=π/q
u=-π/q
とすると
sin t=sin(π/q)≠sin(-π/q)=sin u
(cos t,sin t)≠(cos u,sin u)
f(cost,sint)=(cos(pπ/q),sin(π))=(cos(-pπ/q),sin(-π))=f(cosu,sinu)
だから1:1でない
p=0のとき
t=π
u=0
とすると
cos t=cos(π)≠cos(0)=cos u
(cos t,sin t)≠(cos u,sin u)
f(cost,sint)=(cos(0),sin(π))=(cos(0),sin(0))=f(cosu,sinu)
だから1:1でない
|p|>1 のとき
t={(1/2)+(1/p)}π
u={(1/2)-(1/p)}π
cos t=cos[{(1/2)+(1/p)}π]≠cos[{(1/2)-(1/p)}π]=cos u
(cos t,sin t)≠(cos u,sin u)
cospt=cos(((p/2)+1)π)=cos(((p/2)-1)π)=cospu
sinqt=sin(((q/2)+(q/p))π)=sin(((q/2)-(q/p))π)=sinqu
f(cost,sint)=(cospt,sinqt)=(cospu,sinpu)=f(cosu,sinu)
だから1:1でない

(c)
fが1:1であるとき、
f(cost,sint)=(cost,sint) だから
df:TS^1→TR^2
df(dξ/dt)=d(fξ)/dt=dξ/dtだから
dfも1:1になる