次のベクトル解析の問題を教えてください。

質問

ベクトル解析の問題です。
(1)球面上で極座標がパラメーター0≦t≦πにより
r=1 θ=sint ψ=t
で与えられる曲線の長さを求めよ。

(2)二つのパラメーター0≦ρ≦1、0≦ψ≦2πで与えられる曲面：
x=ρcosψ y=ρsinψ z=ρ^2
の面積を求めよ。

(1)、(2)ともに３つの式が出てきて、どの公式に当てはめればよいのか分かりません。
もしよろしければ解き方を教えてください。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(2)
x=ρcosψ
y=ρsinψ
z=ρ^2
∂x/∂ρ=cosψ
∂y/∂ρ=sinψ
∂z/∂ρ=2ρ
(∂x/∂ρ)^2+(∂y/∂ρ)^2+(∂z/∂ρ)^2=1+4ρ^2
∂x/∂ψ=-ρsinψ
∂y/∂ψ=ρcosψ
∂z/∂ψ=0
(∂x/∂ψ)^2+(∂y/∂ψ)^2+(∂z/∂ψ)^2=ρ^2
面積は
∫_{0～2π}∫_{0～1}ρ√(1+4ρ^2)dρdψ
=2π∫_{0～1}ρ√(1+4ρ^2)dρ
=2π∫_{0～1}{(√t)/8}dt
=π/6

(1)
x=sintcosθ
y=sintsinθ
z=cost
dx/dt
=costcosθ-sintsinθ(dθ/dt)
=costcosθ-sintsinθcost
dy/dt
=costsinθ+sintcosθ(dθ/dt)
=costsinθ+sintcosθcost
dz/dt=-sint
(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2
=(costcosθ-sintsinθcost)^2
+(costsinθ+sintcosθcost)^2
+(sint)^2
=1+(sintcost)^2
曲線長
=∫_{0～π}√{1+(sintcost)^2}dt