二次の偏導関数について

質問

教科書の問題で行き詰っています。
z=f(x,y)、x=rcosθ、y=rsinθのとき、
z_xx + z_yy=z_rr + 1/r・z_r + 1/r^2・z_θθを示せというものです。
z_rrとz_θθを計算すると、
z_r=z_xcosθ + z_ysinθより、
z_rr=dz/dr・d/dx・cosθ + dz/dr・d/dy・sinθとなるので、これを整理すると、
z_rr=z_xxcos^2θ + 2z_xysinθcosθ + z_yysin^2θ
同様にしてz_θ、z_θθを計算すると
z_θθ=r^2(z_xxcos^2θ - 2z_xysinθcosθ + z_yysin^2θ)
となり、この二つを足し合わせるだけでz_xx + z_yyが出てきてしまい、1/r・z_rが使われません。どこが間違っているのでしょうか。

回答No.3

oyaoya65 · ベストアンサー

＞z_rr=dz/dr・d/dx・cosθ + dz/dr・d/dy・sinθとなるので、

書き方が間違っています。
z_rr=∂(z_r)/∂x・∂x/∂r・cosθ + ∂(z_r)/∂y・∂y/∂r・sinθ
と書きます。

＞z_rr =z_xx cos^2θ+2z_xy sinθcosθ+z_yy sin^2θ

これは合っています。

＞z_θθ=r^2(z_xxcos^2θ - 2z_xysinθcosθ + z_yysin^2θ)

これは間違いです。

z_θ=z_x (-rsinθ) + z_y rcosθ

z_θθ={∂(z_θ)/∂x・∂x/∂θ
+∂(z_θ)/∂y・∂y/∂θ}(-rsinθ)
+{z_x・∂(-rsinθ)/∂θ+z_y・∂(rcosθ)/∂θ
ですので、この{ }の第3項目の偏微分項を忘れてみえますので結果が間違ってしまったわけですね。
正しく計算すれば質問の問題の式が出てきます。
↓
z_θθ={z_xx (-rsinθ)+z_xy rcosθ}(-rsinθ)+z_x (-rcosθ)+{z_yy rcosθ+z_yx (-sinθ)}rcosθ+z_y (-rsinθ)

=z_xx r^2sin^2θ+z_yy r^2cos^2θ-2z_xy r^2sinθcosθ-(z_x rcosθ+z_y rsinθ)

z_rr+(1/r^2)z_θθ
=z_xx+z_yy-(1/r)(z_x cosθ+z_y sinθ)
=z_xx+z_yy-(1/r)z_r

最後の項を左辺に移項すれば結果の式が出てきますね。
確認してみてください。

お礼

今まで何度計算しても結果が合わなかったのですが、上の通りに計算したところやっと解答が合いました。
もう諦めかけていたのですが、間に合って本当によかったです。ありがとうございます。

回答No.2

sumpit

z_rr=d/dr(dz/dx cosθ+dz/dy sinθ)
=d^2z/dx^2 dx/dr cosθ + d^2z/dy^2 dy/dr sinθ
=z_xx cos^2(θ) + z_yy sin^2(θ)
になると思うのですがどうでしょうか？

回答No.1

teuu

z_rとかってなんですか？
dz/dr(zのrでの１階偏微分)かと思ったんですけど、
違うんですかね？

だとしたら、
z_rからz_rrの変換が意味不明です。
z_r = z_x・cosθ＋z_y・sinθなんですか？
z_r = z_(xcosθ)＋～
なんですか？
どっちにしてもおかしい気がします。

そこが正しいと仮定しても、
z_rr + z_θθを足し合わせたところで、
z_xx + z_yyでてくるんですか？
cosとsin見間違えてないですか？

補足

すいません、z_rrはzのrでの二階偏微分です。あと、
z_rrとr^2で割ったz_θθを足し合わせると、ということでした。説明不足でした。