合成関数の偏微分

質問

z=f(x,y)で　　x=rcosθ　y=rsinθ　としたとき

∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)　
∂z/∂θ = r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)}　となりますよね。

次にこれらを　∂z/∂r = P　　　∂z/∂θ = Q　　とおいて
2階偏導関数 ∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r)　
∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ)　
を求めたいのですが

∂P/∂x　や　 ∂Q/∂x　を求めるときに
cosθ(∂z/∂x)　についている　cosθ　や
r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)}　についている　r は
定数として扱うべきなのでしょうか？それとも変数とみて積の微分法を
用いればよいのでしょうか？
考えてみれば　cosθ = x/r　で　(x,r)の関数ですから　cosθは
xで偏微分できそうですし
r=x/cosθ　で　(x,θ)の関数ですから　rも偏微分できそうです。

しかし解答をみる限りでは偏微分していません。

誰か教えていただけるとありがたいです。

回答No.1

info222_

>z=f(x,y)
>x=r cos(θ), y=r sinθ

>∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)　
>∂z/∂θ = r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)}　となりますよね。
↑合っています。

>∂z/∂r = P, ∂z/∂θ = Q
>2階偏導関数
>∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r)
P=g(x,y,r,θ)なので、結果は同じですが
∂P/∂r=(∂g/∂r)+(∂g/∂x)(∂x/∂r) + (∂g/∂y)(∂y/∂r)
　=(∂g/∂x)(∂x/∂r) + (∂g/∂y)(∂y/∂r)
であり
>∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ)　
Q=h(x,y,r,θ)なので↑は間違い。
∂Q/∂θ=(∂h/∂θ)+(∂h/∂x)(∂x/∂θ) + (∂h/∂y)(∂y/∂θ)
です。

>を求めたいのですが

>∂P/∂x　や　 ∂Q/∂x　を求めるときに
>cosθ(∂z/∂x)　についている　cosθ　や
>r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)}　についている　r は
定数として扱うべきなのでしょうか？
そうです。rもθも定数として扱います。

なので以下は考えなくてよいです。

>それとも変数とみて積の微分法を
>用いればよいのでしょうか？
>考えてみれば　cosθ = x/r　で　(x,r)の関数ですから　cosθは
>xで偏微分できそうですし
>r=x/cosθ　で　(x,θ)の関数ですから　rも偏微分できそうです。

上述の式から
P=∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)
∂P/∂x=cosθ(∂^2(z)/∂x^2)+sinθ(∂^2(z)/∂y∂x)
∂P/∂y=cosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+sinθ(∂^2(z)/∂y^2)
∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r) (=∂^2(z)/∂r^2)
=(cosθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)+sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x)
　+sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+(sinθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)
=(cosθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)+2sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+(sinθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)

Q=∂z/∂θ=h(x,y,r,θ)=r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)}
∂h/∂x=r{-sinθ(∂^2(z)/∂x^2) + cosθ(∂^2(z)/∂y∂x)}
∂h/∂y=r{-sinθ(∂^2(z)/∂x∂y) + cosθ(∂^2(z)/∂y^2)}
∂Q/∂θ=(∂h/∂θ)+(∂h/∂x)(∂x/∂θ) + (∂h/∂y)(∂y/∂θ)(=∂^2(z)/∂θ^2)
=r{-cosθ(∂z/∂x) -sinθ(∂z/∂y)}
+r^2{(sinθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)-sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x)}
+r^2{-sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y) +(cosθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)}
=-r{cosθ(∂z/∂x)+sinθ(∂z/∂y)}
+r^2{(sinθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)-2sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x)+(cosθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)}