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合成関数の偏微分

z=f(x,y)で  x=rcosθ y=rsinθ としたとき ∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)  ∂z/∂θ = r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} となりますよね。 次にこれらを ∂z/∂r = P   ∂z/∂θ = Q  とおいて 2階偏導関数 ∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r)  ∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ)  を求めたいのですが ∂P/∂x や  ∂Q/∂x を求めるときに cosθ(∂z/∂x) についている cosθ や r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} についている r は 定数として扱うべきなのでしょうか?それとも変数とみて積の微分法を 用いればよいのでしょうか? 考えてみれば cosθ = x/r で (x,r)の関数ですから cosθは xで偏微分できそうですし r=x/cosθ で (x,θ)の関数ですから rも偏微分できそうです。 しかし解答をみる限りでは偏微分していません。 誰か教えていただけるとありがたいです。

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>z=f(x,y) >x=r cos(θ), y=r sinθ >∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y)  >∂z/∂θ = r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} となりますよね。 ↑合っています。 >∂z/∂r = P, ∂z/∂θ = Q >2階偏導関数 >∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r) P=g(x,y,r,θ)なので、結果は同じですが ∂P/∂r=(∂g/∂r)+(∂g/∂x)(∂x/∂r) + (∂g/∂y)(∂y/∂r)  =(∂g/∂x)(∂x/∂r) + (∂g/∂y)(∂y/∂r) であり >∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ)  Q=h(x,y,r,θ)なので↑は間違い。 ∂Q/∂θ=(∂h/∂θ)+(∂h/∂x)(∂x/∂θ) + (∂h/∂y)(∂y/∂θ) です。 >を求めたいのですが >∂P/∂x や  ∂Q/∂x を求めるときに >cosθ(∂z/∂x) についている cosθ や >r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} についている r は 定数として扱うべきなのでしょうか? そうです。rもθも定数として扱います。 なので以下は考えなくてよいです。 >それとも変数とみて積の微分法を >用いればよいのでしょうか? >考えてみれば cosθ = x/r で (x,r)の関数ですから cosθは >xで偏微分できそうですし >r=x/cosθ で (x,θ)の関数ですから rも偏微分できそうです。 上述の式から P=∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y) ∂P/∂x=cosθ(∂^2(z)/∂x^2)+sinθ(∂^2(z)/∂y∂x) ∂P/∂y=cosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+sinθ(∂^2(z)/∂y^2) ∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r) (=∂^2(z)/∂r^2) =(cosθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)+sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x)  +sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+(sinθ)^2(∂^2(z)/∂y^2) =(cosθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)+2sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y)+(sinθ)^2(∂^2(z)/∂y^2) Q=∂z/∂θ=h(x,y,r,θ)=r{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} ∂h/∂x=r{-sinθ(∂^2(z)/∂x^2) + cosθ(∂^2(z)/∂y∂x)} ∂h/∂y=r{-sinθ(∂^2(z)/∂x∂y) + cosθ(∂^2(z)/∂y^2)} ∂Q/∂θ=(∂h/∂θ)+(∂h/∂x)(∂x/∂θ) + (∂h/∂y)(∂y/∂θ)(=∂^2(z)/∂θ^2) =r{-cosθ(∂z/∂x) -sinθ(∂z/∂y)} +r^2{(sinθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)-sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x)} +r^2{-sinθcosθ(∂^2(z)/∂x∂y) +(cosθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)} =-r{cosθ(∂z/∂x)+sinθ(∂z/∂y)} +r^2{(sinθ)^2(∂^2(z)/∂x^2)-2sinθcosθ(∂^2(z)/∂y∂x)+(cosθ)^2(∂^2(z)/∂y^2)}

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