- ベストアンサー
偏導関数
x=ρcosΦ,y=ρsinΦ のとき ∂ρ/∂x を求めようとしたのですが x^2+y^2=ρ^2(sin^2Φ+cos^2Φ) よって,ρ=(x^2+y^2)^(1/2)と変形すれば ∂ρ/∂x = x/ρ = cosΦ となりますが F(x,ρ,Φ)=ρcosΦーx とおいて陰関数定理を用いて ∂F/∂x = -1 ∂F/∂ρ = cosΦ よって,∂ρ/∂x = ー(∂F/∂x)/(∂F/∂ρ) = 1/cosΦ !? となってしまいます。 前者が正しいと思うのですが、どうしてこの様に結果が異なってしまうのでしょうか? 教えてください。
- guowu-x
- お礼率48% (120/250)
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数0
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
参考程度に 「x=ρcosΦ,y=ρsinΦ のとき、次のことを証明せよ。 (1) x(∂f/∂y)-y(∂f/∂x)=0 ならば,f(x,y)は、ρだけの関数である。 (2) x(∂f/∂x)+y(∂f/∂y)=0 ならば,f(x,y)は、Φだけの関数である。」 f(x,y), x=g(ρ,φ), y=h(ρ,φ) (1) ∂f/∂φ=∂f/∂x*∂x/∂φ+∂f/∂y*∂y/∂φ =∂f/∂x*(-ρsinΦ)+∂f/∂y*(ρcosΦ) =-∂f/∂x*(y)+∂f/∂y*(x) ∂f/∂φ=0, -∂f/∂x*(y)+∂f/∂y*(x)=0 (2) ∂f/∂ρ=∂f/∂x*∂x/∂ρ+∂f/∂y*∂y/∂ρ =∂f/∂x*cosΦ+∂f/∂x*sinΦ ρ*∂f/∂ρ=∂f/∂x*ρcosΦ+∂f/∂x*ρsinΦ =ρ*∂f/∂ρ=∂f/∂x*x+∂f/∂x*y ∂f/∂ρ=0, ∂f/∂x*x+∂f/∂x*y=0 「(3) (∂^2f/∂x^2)+(∂^2f/∂y^2) =(∂^2f/∂ρ^2)+(1/ρ)(∂f/∂ρ)+(1/ρ^2)(∂^2f/∂Φ^2) を示せ。」 (1),(2)を利用 ∂f/∂ρ=∂f/∂x*cosΦ+∂f/∂x*sinΦ ∂^2f/∂ρ^2=(∂^2f/∂x^2)∂x/∂ρ*cosΦ+(∂^2f/∂y^2)∂y/∂ρ*sinΦ = (∂^2f/∂x^2)*{cosΦ}^2+(∂^2f/∂y^2)*{sinΦ}^2 ---(A) ∂f/∂φ=∂f/∂x*(-ρsinΦ)+∂f/∂y*(ρcosΦ) :註:積の微分です。 ∂^2f/∂φ^2=(∂^2f/∂x^2)∂x/∂Φ*(-ρsinΦ)+(∂^2f/∂y^2)∂y/∂Φ*(ρcosΦ)-∂f/∂x*(-ρcosΦ)-∂f/∂y*(ρsinΦ) =(∂^2f/∂x^2)*(-ρsinΦ)^2+(∂^2f/∂y^2)*(ρcosΦ)^2+∂f/∂x*(-ρcosΦ)+∂f/∂y*(-ρsinΦ) ∂^2f/∂φ^2+∂f/∂x*(ρcosΦ)+∂f/∂y*(ρsinΦ) =(∂^2f/∂x^2)*(-ρsinΦ)^2+(∂^2f/∂y^2)*(ρcosΦ)^2 {∂^2f/∂φ^2+ρ*∂f/∂ρ}/ρ^2 =(∂^2f/∂x^2)*(sinΦ)^2+(∂^2f/∂y^2)*(cosΦ)^2 --(B) (A)+(B)から (∂^2f/∂x^2)+(∂^2f/∂y^2)=∂^2f/∂ρ^2+{∂^2f/∂φ^2+ρ*∂f/∂ρ}/ρ^2 ということですね。参考まで
その他の回答 (4)
- Mell-Lily
- ベストアンサー率27% (258/936)
x=ρ・cosφ …(1) y=ρ・sinφ …(2) (1)から、 ρ=x/cosφ. …(3) したがって、 ∂ρ/∂x=1/cosφ. …(4) また。(1),(2)から、 ρ=√(x^2+y^2). …(5) したがって、 ∂ρ/∂x=cosφ. …(6) (3)は、 ρ=f(x,φ)=x/cosφ. すなわち、ρをxとφの関数と見ているわけです。一方、(5)は、 ρ=g(x,y)=√(x^2+y^2). すなわち、ρをxとyの関数と見ているわけです。つまり、(4)は、φが一定のときのρのxに対する微分であり、(6)は、yが一定のときのρのxに対する微分なのです。座標平面で考えれば、分かりやすいでしょう。
- mmky
- ベストアンサー率28% (681/2420)
#2のmmkyです。 参考が多少すっきりしていませんので、追記しておきます。 「x=ρcosΦ,y=ρsinΦ のとき ∂ρ/∂x を求めようとしたのですが」 x=f(p,Φ), y=g(p,Φ) ということであれば、 ∂x=(∂f/∂p)∂p+(∂f/∂Φ)∂Φ =cosΦ∂p - psinΦ∂Φ ∂x/∂p=cosΦ - psinΦ∂Φ/∂p ∂p/∂x=1/{cosΦ - psinΦ∂Φ/∂p} ∂Φ/∂p=0, であれば、 ∂p/∂x=1/cosΦ y=(∂f/∂p)∂p+(∂f/∂Φ)∂Φ ∂y=sinΦ∂p+pcosΦ∂Φ ∂y/∂p=sinΦ+pcosΦ∂Φ/∂p ∂p/∂y=1/{sinΦ+pcosΦ∂Φ/∂p} ∂Φ/∂p=0, であれば、 ∂p/∂x=1/sinΦ 考え方(2) x^2+y^2=ρ^2 p=f(x,y)=√(x^2+y^2) ∂p=(∂f/∂x)∂x+(∂f/∂y)∂y =(x/p)∂x+(y/p)∂y ∂p/∂x=(x/p)+(y/p)∂y/∂x ∂y/∂x=0, であれば、つまりy=定数のとき、 ∂p/∂x=(x/p) :(x/p)は変数xで変化する傾き ということですね。#2の参考の追記まで
- mmky
- ベストアンサー率28% (681/2420)
参考程度に #1のspringsideさんのご指摘の通り、変数と定数の混同がありますね。 (1) x^2+y^2=ρ^2(sin^2Φ+cos^2Φ) よって,ρ=(x^2+y^2)^(1/2)と変形すれば ∂ρ/∂x = x/ρ = cosΦ となります。 ですが正しくありません。もし、Pとxが変数であれば、円の方程式ではないのでyを定数として、P=√(x^2+k) , k=y^2 dp/dx=x/√(x^2+k)=x/p , x/p=cosθ でこれはcosΦ ではありません。 cosΦが有効なのは、pが定数で、x,y が変数の場合です。 (2) ∂ρ/∂x = ー(∂F/∂x)/(∂F/∂ρ) = 1/cosΦ 極座標でPを変化させると,cosΦ は定数ですから、Δx=Δr*cosΦ ですから、∂ρ/∂x = 1/cosΦ はあっていますね。 といういことですかね。
- springside
- ベストアンサー率41% (177/422)
回答ではないのですが。 文字としてx,y,p,Φの4つが登場していますが、その4つのうち、変数はどれで、定数はどれでしょうか。 そこら辺で混乱が生じているような気がしますが。 また、∂ρ/∂x = -(∂F/∂x)/(∂F/∂ρ)についている「マイナス」は不要のような気がします(分数計算のように見れば)。
関連するQ&A
- n階偏導関数の問題を教えて下さい。
分からなくって困っています。 問題は (1)u=cos(x-y)cos(x+y) (2)u=sin(x-y)sin(x+y) (3)u=sin(x-y)cos(x+y) について、n階偏導関数をすべて計算しなさい(n=1,2,・・・) という問題です。 sinとかcosを変形すると思うんですが、やり方が分かりません。 教えて下さい. お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の定義
cos, sinと全く同じように 「ピタゴラスの定理と加法定理を満たす関数」、すなわち [f(x)]^2 + [g(x)]^2 = 1 f(x + y) = f(x)f(y) - g(x)g(y) f(x - y) = f(x)f(y) + g(x)g(y) g(x + y) = g(x)f(y) + f(x)g(y) g(x - y) = g(x)f(y) - f(x)g(y) を満たす関数f, gは、 現行のcos, sin以外には存在しないのでしょうか。 すなわち、三角関数を 「上の関係を満たす関数」として定義しても 全ての性質を語り尽くすことができるのでしょうか。 また、「加法定理だけを満たす関数」としては どのようなものが考えられるのでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏導関数の変数変換の問題を教えて下さい
α∈Rは定数とし、関数z=f(x,y)と変数変換 x=s・cosαーt・sinα、y=s・sinα+t・cosαを考える。 次を示しなさい。 (∂^2)z/∂x^2+(∂^2)z/∂y^2=(∂^2)z/∂s^2+(∂^2)z/∂t^2 困っています。 皆さん、お願いいたします.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏導関数の変数変換の問題を教えて下さい。
この問題が分からず困っています。 α∈Rは定数とし、関数z=f(x,y)と変数変換 x=s・cosαーt・sinα、y=s・sinα+t・cosαを考える。 ∂^2z/∂x∂yの独立変数をs,tに変更しなさい という問題です。 皆さん、どうかお願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の問題なのですが・・・
三角関数の問題なのですが・・・ cosα+cosβ=1/2,sinα+sinβ=1/3のとき、 (1)cos(α-β)の値を求めよ。 (2)cos2x+cos2y=2cos(x+y)cos(x-y) が成り立つことを示せ。 (3)cos(α+β)の値を求めよ。 加法定理を使うというのはわかるのですが、それをどう使えば値が出るのかわかりません。 解き方だけでも教えてください。お願いします!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2変数関数のテイラー展開
sin(x^2+y^2)を点 (1,1) のまわりに二次の項までテイラー展開する 合ってますでしょうか? 偏導関数の計算は wolframa でやりました(笑)。 f_x = 2x・cos(x^2+y^2) f_y = 2y・cos(x^2+y^2) f_xx = 2{ cos(x^2+y^2) - 2x^2・sin(x^2+y^2) } f_xy = -4xy・sin(x^2+y^2) f_yy = 2{ cos(x^2+y^2) - 2y^2・sin(x^2+y^2) } f_x(1,1) = 2cos(2) f_y(1,1) = 2cos(2) f_xx(1,1) = 2{ cos(2) - 2sin(2) } f_xy(1,1) = -4sin(2) f_yy(1,1) = 2{ cos(2) - 2sin(2) } f(1+x,1+y)≒ f(1,1) + f_x(1,1)x + f_y(1,1)y + (1/2){ f_xx(1,1)x^2 + 2f_xy(1,1)xy + f_yy(1,1)y^2 } = sin(2) + 2cos(2)・x + 2cos(2)・y + (1/2){ 2(cos(2)-2sin(2))x^2 - 8sin(2)xy + 2(cos(2)-2sin(2))y^2 }
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
回答ありがとうございます。しかしなんだかまた分からなくなってきた…。 具体的には次のような問題を解こうとして∂p/∂xが必要になりました。 ・問題 x=ρcosΦ,y=ρsinΦ のとき、次のことを証明せよ。 (1) x(∂f/∂y)-y(∂f/∂x)=0 ならば,f(x,y)は、ρだけの関数である。 (2) x(∂f/∂x)+y(∂f/∂y)=0 ならば,f(x,y)は、Φだけの関数である。 (3) (∂^2f/∂x^2)+(∂^2f/∂y^2) =(∂^2f/∂ρ^2)+(1/ρ)(∂f/∂ρ)+(1/ρ^2)(∂^2f/∂Φ^2) を示せ。 (1)は(∂f/∂Φ)=0,(2)は(∂f/∂ρ)=0 を示して出来たのですが, (3)を解こうと (∂^2f/∂x^2) =(∂/∂x)(∂f/∂x) =(∂/∂ρ)(∂f/∂x)*(∂ρ/∂x)+(∂/∂Φ)(∂f/∂x)*(∂Φ/∂x) …。と変形していくわけですが、この計算のために必要だったわけです。 なお、上の変形は解答に書いてあったので多分あってると思います。 また,解答では∂p/∂x=(x/p)=cosΦ,出計算されていたため訳が分からなくなった次第です。