三角関数の問題なのですが・・・

質問

三角関数の問題なのですが・・・

cosα+cosβ=1/2,sinα+sinβ=1/3のとき、

(1)cos(α-β)の値を求めよ。

(2)cos2x+cos2y=2cos(x+y)cos(x-y)
　が成り立つことを示せ。

(3)cos(α+β)の値を求めよ。

加法定理を使うというのはわかるのですが、それをどう使えば値が出るのかわかりません。
解き方だけでも教えてください。お願いします!

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

(1) (cosα+cosβ)^2=cos^2(α)+2cosαcosβ+cos^2(β)=1/4
　　 (sinα+sinβ)^2=sin^2(α)+2sinαsinβ+sin^2(β)=1/9
　　2つの式を足すと、
　　1+2(cosαcosβ+sinαsinβ)+1=13/36
したがって、cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=(13/36-2)/2

(2)　cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
　　cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
2つの式を足すと、
　　　cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB
ここで、A=x+y,B=x-yとおく。

(3)　(1)の2つの式で、上から下を引くと、
　　　cos2α+2cos(α+β)+cos2β=5/36
　　　(2)より、cos2α+cos2β=2cos(α+β)cos(α-β)なので、
　　　cos(α+β){2+2cos(α-β)}=5/36
　　　(1)のこたえを用いて、cos(α+β)の値を求める。

お礼

ありがとうございました！！